一、自然界中的材質(zhì)

首先了解下自然界中的材質(zhì)

如上這幅圖，不同的物體、場景、組合，會讓我們看到不同的效果。
我們通常認(rèn)為物體由其表面定義，表面是物體和其他物體或周圍介質(zhì)之間的邊界面。但是物體內(nèi)部的材質(zhì)也會影響光照效果。我們目前只考慮兩種不同介質(zhì)間的邊界面，并假定光穿過邊界面后有不同的傳播方式。
但是歸根到底就一個核心：光線如何傳播的，又是如何跟物體作用的。
研究自然界中的材質(zhì)，就是在研究光線如何傳播
光與材質(zhì)的交互作用非常簡單。作為基本的類似，每個擊中物體表面的光子有三種情況：

• 被吸收并轉(zhuǎn)換成熱能
• 穿過表面進入物體內(nèi)部
• 被表面反射出去
  每一種情形出現(xiàn)的概率和發(fā)生作用后光子的傳播方向由物體的材質(zhì)以及撞擊點附近表面微表面的朝向所決定。

二、 計算機圖形學(xué)中的材質(zhì)

如下3D的由四邊形組成的模型，右邊是渲染后的圖，表現(xiàn)為陶瓷杯，為啥就能看出是陶瓷？ 因為在渲染方程中通過對BRDF函數(shù)的定義，使杯子表現(xiàn)了一定程度的鏡面反射+漫反射，給人一種陶瓷感。

一般情況下，我們至少需要區(qū)分以下五種在審美和感知上有意義的現(xiàn)象：

1. 清晰的鏡面反射，如玻璃上的反光
2. 具有光澤的高光和反射，例如涂蠟蘋果上的高光
3. 表面下的淺層散射，他導(dǎo)致獨立于觀察方向的朗伯漫反射，例如平坦墻上涂料的觀察效果
4. 表面下的深層反射，這是由于光在表面下的漫散射，是皮膚和大理石等外觀較柔和的原因
5. 透射，當(dāng)光通過幾乎透明的材質(zhì)（如水和霧）時，進入介質(zhì)后發(fā)生折射。在光的路徑上可能有少量的漫反射

因為這些現(xiàn)象都源于散射（或者由于被吸收而無散射），所以常使用散射函數(shù)進行描述，有幾種散射函數(shù)，其中包括：

• 用于描述表面散射的雙向散射分布函數(shù)–BSDF
• 僅考慮不透明表面反射的雙向反射分布函數(shù)–BRDF
• 用于純透射表面的雙向透射分布函數(shù)–BTDF
• 用于描述表面反射和表面下淺層散射效果的雙向散射反射分布函數(shù)–BSSDF

2.1 漫反射材質(zhì)的BRDF

漫反射的BRDF推導(dǎo)過程：

假設(shè)入射光是均勻分布在半球上的并且處處相等，漫反射光也一樣
由能量守恒可以知道入射的照度Irradiance == 出射的Irradiance，并且入/出射都是均勻分布，那么他們各自某個立體角的radiance也相等，即 Lo = Li 建立渲染方程如下：

對cosθ在半球上的定積分結(jié)果為π（過程省略），最終可得到完全不吸收能量的漫反射BRDF項fr為： 1 / π
還可以定義 ρ 反射率albedo，可以是單通道(0~1)、三通道(RGB)，從而可以引入不同顏色的漫反射BRDF

2.2 拋光/毛面金屬材質(zhì)的BRDF

這種材質(zhì)散射規(guī)律是在鏡面反射方向附近，一小塊區(qū)域進行均勻的散射，用代碼實現(xiàn)的話也很簡單，算出鏡面反射方向(x,y,z)，就以（x,y,z）為球心(圓心也行)，隨機在球內(nèi)生成一個點，以反射點到這個點作為真的反射方向。這樣的話，高一點的SPP下，就能夠均勻的覆蓋鏡面反射方向附近的一塊小區(qū)域了

2.3 完全鏡面反射+折射材質(zhì)的BRDF

折射方向稍微難算一些，鏡面反射方向簡單。

這種材質(zhì)與光的作用方式可分為射入和射出（默認(rèn)折射率η比空氣大）

• 從空氣射入材質(zhì)內(nèi)部，則一定是鏡面反射+折射同時發(fā)生
• 如果從材質(zhì)內(nèi)部射入空氣，則分兩種情況： 鏡面反射+折射 不滿足折射條件，僅鏡面反射。

2.3.1 鏡面反射方向（立體角）計算

已知入射方向向量為，則反射方向向量 = V + 2B

這里其實可以看出來，計算鏡面反射方向其實還是有那么點麻煩的吧，所以之前進行Blinn-Phong模型著色計算時，高光項判斷出射方向是否足夠接近鏡面反射時，沒有用鏡面反射方向與出射方向做比較，而是用半程向量half vector跟法線n來比，半程向量計算非常簡單：入射＋出射然后單位化就行了。

如果天頂角+方位角的形式來描述三維空間的一個方向，則出射方向計算很簡單

方位角φ，他們必然在一個面上，并且相差180°，滿足下面這個方程

天頂角θ：鏡面反射的入射和出射的θ是相等的

2.3.2 折射方向計算

光從一種介質(zhì)進入到另一種介質(zhì)就會發(fā)生折射。
第三幅圖水底的這種現(xiàn)象稱為caustics，這是由于水面凹凸不平，水底某些點會聚集較多的光線，有點聚焦的意思。

折射方向計算：
斯內(nèi)爾定律(Snell’s Law)： 給出了描述光從一種介質(zhì)傳播到另一種介質(zhì)時是如何折射的方程：ηisinθi = ηtsinθt
必須知道兩種材質(zhì)的折射率η1，η2，和入射角度θi，然后能得到θt；再根據(jù)入射和出射的方位角關(guān)系公式，能算出φt。θt和φt組成ωt

折射發(fā)生的條件：

• 光疏介質(zhì)->光密介質(zhì)：必然折射
• 光密介質(zhì)->光疏介質(zhì)：根據(jù)入射角度大小，過大可能就沒有折射而是全反射

所以會有一個全反射和折射的臨界角
證明：
由折射方程：ηisinθi = ηtsinθt，sin2θ + cos2θ = 1可知

看根號內(nèi)的式子(首先1-cos2θi < 1 恒成立)
當(dāng)ηi/ηt < 1，根號下式子 > 0，等式有意義，必然發(fā)生折射 。
當(dāng)ηi/ηt > 1，具體看1-cos2θi 的大小，如果入射角θi比較大，根號下式子可能會 < 0。

例子：水介質(zhì)和光介質(zhì)

兩個角度看這張圖：
(1)光從空氣射入水中，可以明顯看到，空氣中不管角度多大都會發(fā)生折射
(2)記住圖形學(xué)中考慮問題都是攝像機發(fā)射光線，光線從水中射入空氣，只能看到大概97.2°的一個錐形區(qū)域的光，角度再大一點就發(fā)生全反射了。所以超過這個錐形區(qū)域，其他地方的光都射向水底了，比較黑。

三、菲涅爾項(Fresnel Term)

反射率取決于入射角度，入射光與法線的夾角越大，反射的能量越多

從書上反射出的光，射到桌面然后反彈到人眼中，如果入射光跟法線夾角比較小(左1)，則幾乎看不到桌面的倒影，即反射能量比較少；當(dāng)入射光跟法線夾角特別大，幾乎接近90°的時候，桌面會形成比較明顯的書的倒影，也就是能量衰減得比較少

入射角度與反射率關(guān)系曲線圖

• 絕緣體(非金屬) ： 可以看到如果一根光線跟法線幾乎成90°的話，反射率幾乎為1，沒有能量損失虛線可以不看，這部分是偏振光的性質(zhì)，實線是兩個方向偏振光取平均的結(jié)果，看紅實線即可
• 導(dǎo)體(金屬物品) ： 不管什么角度反射率都蠻高的

菲涅爾項的計算：

精確計算菲涅爾項(沒有必要)
求s、p偏振光的菲涅爾項，然后取兩者的平均作為最終結(jié)果
計算挺復(fù)雜，明白這玩意兒跟出/入射角度、介質(zhì)反射率η有關(guān)就行了
近似計算：Schlick’s approximation(性價比更高)

1. R(θ)函數(shù)，自變量θ為入射光線與法線夾角，定義域在[0°,90°]，返回值為反射率，值域[0,1]
2. Schlick提出這個計算方式，其實就是重新擬合了一條曲線，近似的表現(xiàn)上面介紹的“入射角度與反射率關(guān)系曲線圖”。R0就是入射光與法線夾角為0時的反射率。
3. 我們?nèi)绻毽?= 0，θ = 90，進去算很容易看出R(0) = R0，R(90) = 1，還是比較正確的。這個函數(shù)同時適用于導(dǎo)體和絕緣體。
4. n1，n2是兩種介質(zhì)的折射率
   
   在這里提到菲涅爾項的目的：引出微表面材質(zhì)/模型

四、 微表面材質(zhì)(Microfacet Material)

研究微表面材質(zhì)的動機是什么？—— 因為現(xiàn)實生活中，確實有這種現(xiàn)象存在

如下，衛(wèi)星拍攝的一幅圖，這片高光的效果看起來像平面，但我們知道它是凹凸不平的
只要當(dāng)視角離得足夠遠(yuǎn)，我們看不到表面的細(xì)節(jié)，只能看到光對該表面整體的作用結(jié)果

4.1 微表面模型Microfacet Theory/Model

對于看向一個粗糙表面

• 宏觀上：平坦且略有粗糙
• 微觀上：凹凸不平，且每個微元都認(rèn)為只發(fā)生鏡面反射

總之，要有這么一個概念：從近處看能看到不同的幾何細(xì)節(jié)，拉遠(yuǎn)后細(xì)節(jié)消失

為什么會發(fā)生漫反射？因為粗糙的物體表面在微觀上可以看成超級多細(xì)小的鏡子，他們的朝向/法線各不相同，他們會把光線反射到四面八方.

微表面的BRDF：

對于glossy毛面的材質(zhì)，微表面的法線方向其實差不多，

把他們的分布畫出來，會集中在宏觀的法線周圍(宏觀即不看微表面，鏡頭拉遠(yuǎn)后忽略細(xì)節(jié)，法線正直朝上)

對于特別粗糙的材質(zhì)，微表面法線分布圖(左)，渲染效果(右)

所以，通過微表面理論，我們可以把表面的粗糙程度用 微表面的法線分布 來表示

• 如果微表面法線分布集中 ==> glossy
• 如果微表面法線分布分散 ==> diffuse

4.2 微表面的 BRDF (雙向反射分布函數(shù) f(i,o))

注意：微觀上對于表面任意一個點來說，是鏡面反射

• F(i,h)：Fresnel Term 菲涅爾項。給定入射方向 ωi 和半程向量h方向，返回反射方向的反射率，值域[0,1]
• D(h) ：Distribution of normals 微表面的法線分布。給定一個半程向量h，返回法線位于該方向的微表面數(shù)量
• G(i,o,h)：Shadowing Masking Term 陰影遮蔽，也叫幾何項。 當(dāng)入射光以非常平(Grazing Angle 掠射角度)的射向表面時，有些凸起的微表面就會遮擋住后面的微表面。這一項其實就起修正作用，當(dāng)入射為掠射角度時，這一項可能就會返回一個比較小的數(shù)比如0.5，0.4之類的，把BRDF的返回值拉低一點。 如果沒有這一項，假如我們渲染一個球，球的邊界上，就會是掠射角度，會特別亮。(看分子 菲涅爾項F(i,h) 返回值接近1，D(h)的返回值也會很大，因為微表面法線分布基本是正態(tài)分布，又因為入射很平，半程向量很居中，微表面的數(shù)量是最多的，返回值就大。最終就造成BRDF返回值比較大，反射光的能量只會減少很少的兩，因此邊緣著色特別亮。)

4.3 微表面模型渲染出來的效果特別真實

現(xiàn)在特別火的PBR——physically Based Rendering 就一定會使用微表面模型。為了更好的效果和表現(xiàn)，工業(yè)界有很多自己開發(fā)的不同種類的微表面模型，但是都是基于上面介紹的微表面模型搞出來的 核心是不變的。

五、 各向同性/異性材質(zhì)

電梯間的四周的材質(zhì)是這種沿某方向磨過的金屬，它的高光表現(xiàn)如下所示，這是種各項同性材質(zhì)。

• Isotropic Material：各向同性材質(zhì)，各個方向法線分布是差不多的，方向性很弱。
• Anisotropic Material：各項異性材質(zhì)，各個方向法線分布是不同的，方向性很強。如沿著某個方向刷過的金屬
  
  這兩種BRDF的區(qū)分方式：

各向同性材質(zhì)：BRDF值只跟相對方位角有關(guān)，BRDF函數(shù)可以從四維降成三維
什么意思？—— 對于各向同性材料，不管入射方位角 φi ，和出射方位角 φr ，怎么變化，只要這倆角度的相對差值 |φi - φr| 沒變，那BRDF就不變，加絕對值是因為光的可逆性，下面公式也可以加上問題不大。
具體來說，入射方向和出射方向的方位角同時繞著色點隨便怎么轉(zhuǎn)，只要 |φi - φr| 不變，BRDF返回值不會變，著色結(jié)果相同。

各項異性材質(zhì)：絕對方位角(各自的φ)有關(guān)，只要任意一方的方位角改變，就會呈現(xiàn)比較大的差別。

六、 BRDF的性質(zhì)總結(jié)

（1） 非負(fù)性：fr(ωi ->ωr ) ≥ 0

（2）線性：BRDF可以分成多項分別計算后相加(類似Blinn-Phong模型分成高光+漫發(fā)射+環(huán)境光)

（3）可逆性：調(diào)換BRDF的入射光和出射光，返回值是一樣的

（4）能量守恒：不能違背能量守恒原則。下面公式，其實可以看做是半球上所有方向入射光的能量Li總 的一個系數(shù)，這個系數(shù)必須滿足 ≤ 1

（5）各向異性/各向同性BRDF：不管是各項同性還是異性材質(zhì)都遵循光的可逆性，互換出入射光，BRDF返回值不變。

各向同性材質(zhì)BRDF：跟出入射方位角無關(guān)，跟他們相對差值有關(guān)，因此四維BRDF函數(shù)變成三維。保持相對靜止，方位角隨便怎么旋轉(zhuǎn)，BRDF返回值不變。

并且滿足光的可逆性，交換出入射光，數(shù)值不變；方位角也不用管誰大誰小。

各向異性材質(zhì)BRDF：跟絕對方位角有關(guān)。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-846434.html

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