時間序列分析在數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位，它不僅幫助我們理解數(shù)據(jù)的趨勢和模式，還能夠提供對未來趨勢的預(yù)測。在眾多時間序列分析工具中，Python中的Statsmodels庫以其強大的功能和靈活性備受青睞。本文將深入探討Statsmodels庫在時間序列分析中的應(yīng)用，聚焦于移動平均模型（MA）、自回歸模型（AR）以及ARIMA模型，帶你領(lǐng)略Statsmodels的精妙之處。

寫在開頭

時間序列分析是一種通過對時間相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、建模和預(yù)測來發(fā)現(xiàn)模式和規(guī)律的技術(shù)。在金融、氣象、銷售等眾多領(lǐng)域，時間序列分析都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。而在這個領(lǐng)域，Statsmodels庫以其豐富的功能和強大的性能表現(xiàn)得尤為突出。

1 移動平均模型（MA）

1.1 移動平均模型的基本原理

移動平均模型（Moving Average Model，簡稱MA模型）是一種時間序列分析中常用的模型，用于描述時間序列數(shù)據(jù)中的趨勢和季節(jié)性變化。MA模型的基本原理涉及到對數(shù)據(jù)的平均值進行移動計算，以揭示數(shù)據(jù)的平滑趨勢。

以下是MA模型的基本原理：

1. 滑動平均的概念： MA模型基于滑動平均的思想，通過在時間序列上滑動一個固定大小的窗口，計算窗口內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值。這個窗口的大小決定了平均值的穩(wěn)定性，較大的窗口可以平滑噪聲，但可能較慢地適應(yīng)趨勢的變化。

2. 平均值的表示： 在MA模型中，時間點 t 處的觀測值被表示為過去幾期的白噪聲（隨機誤差項）的線性組合。具體來說，第 t 期的觀測值 Y(t) 可以被表示為：

   $Y(t)=\mu +?(t)+{\theta }_1?(t?1)+{\theta }_2?(t?2)+\dots +{\theta }_q?(t?q)$

   其中，$\mu$ 是均值，$?(t)$ 是白噪聲，${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_q$ 是MA模型的參數(shù)，而 q 是模型的階數(shù)。

3. 模型的階數(shù)： MA模型的階數(shù) q 表示窗口的大小，即過去 q 期的觀測值會對當(dāng)前期的觀測值產(chǎn)生影響。階數(shù)的選擇通常需要結(jié)合實際問題和模型擬合的效果進行調(diào)整。

4. 模型的建模和預(yù)測： 利用過去的觀測值，通過估計模型的參數(shù)，可以建立MA模型。然后，利用該模型對未來的觀測值進行預(yù)測。

1.2 利用Statsmodels進行MA模型的建模和預(yù)測

Statsmodels庫提供了豐富的時間序列分析工具，通過它，我們可以輕松地建立和訓(xùn)練移動平均模型，并進行未來數(shù)據(jù)的預(yù)測。
現(xiàn)在如果要分析過去幾個季度每月銷售額的變化，以便更好地理解銷售趨勢并進行未來銷售的預(yù)測，我們利用Python代碼進行構(gòu)建：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 生成模擬數(shù)據(jù)
np.random.seed(12)
date_rng = pd.date_range(start='2022-01-01', end='2022-12-31', freq='M')
sales_data = np.random.randint(50, 150, size=(len(date_rng)))

sales_df = pd.DataFrame(data={'date': date_rng, 'sales': sales_data})
sales_df.set_index('date', inplace=True)

# 利用Statsmodels建立ARIMA模型
order = (0, 0, 1)  # 設(shè)置MA階數(shù)為1
arima_model = ARIMA(sales_df['sales'], order=order)
arima_result = arima_model.fit()

# 模型評估
print(arima_result.summary())

# 預(yù)測未來3個月的銷售額
forecast_steps = 3
forecast = arima_result.get_forecast(steps=forecast_steps)

# 獲取預(yù)測結(jié)果
forecast_values = forecast.predicted_mean

# 輸出預(yù)測結(jié)果
print("未來3個月的銷售額預(yù)測：")
print(forecast_values)

# 可視化觀測值、預(yù)測值和置信區(qū)間
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(sales_df['sales'], label='Observations', marker='o')
plt.plot(forecast_values, label='Forecast', linestyle='--', marker='o', color='red')
plt.fill_between(forecast.conf_int().index, forecast.conf_int()['lower sales'], forecast.conf_int()['upper sales'], color='pink', alpha=0.3, label='Confidence Interval')
plt.title('Sales Forecast with MA(1) Model - Observations vs Forecast')
plt.legend()

# 殘差圖
residuals = sales_df['sales'] - arima_result.fittedvalues
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(residuals, label='Residuals', linestyle='--', marker='o')
plt.axhline(0, color='red', linestyle='--', linewidth=1, label='Zero Line')
plt.title('Residuals of MA(1) Model')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

運行上述代碼后，我們可以得到下面的結(jié)果：

從上述的模型評估結(jié)果，我們可以得到下面的信息：

• Log Likelihood（對數(shù)似然）： Log Likelihood 的值為 -54.927，該值越接近零越好，表示模型對觀測數(shù)據(jù)的擬合效果越好。

• AIC（赤池信息準則）和BIC（貝葉斯信息準則）： AIC 和 BIC 分別為 115.855 和 117.309。在比較不同模型時，我們通常選擇具有較小 AIC 和 BIC 值的模型，因為它們更好地平衡了模型的擬合效果和復(fù)雜性。

• 模型系數(shù)（coef）： 我們關(guān)注 ma.L1 的系數(shù)，其值為 0.8383。該系數(shù)表示過去一個期的白噪聲對當(dāng)前銷售額的影響。系數(shù)的顯著性通常通過 P-value 來判斷，這里 P-value 為 0.013，小于通常選擇的顯著性水平（如 0.05），說明該系數(shù)是顯著的。

• 殘差的方差（sigma2）： sigma2 表示白噪聲的方差，該值為 500.9042。較小的方差表示模型對數(shù)據(jù)的擬合較好。

• Ljung-Box 統(tǒng)計量和 Jarque-Bera 統(tǒng)計量： 這兩個統(tǒng)計量用于檢驗?zāi)Ｐ蜌埐钍欠翊嬖谧韵嚓P(guān)性和非正態(tài)性。在這里，Ljung-Box 的 Q 統(tǒng)計量為 0.32，P-value 為 0.57，Jarque-Bera 統(tǒng)計量為 1.31，P-value 為 0.52。P-value 較大，表示模型的殘差在統(tǒng)計上不顯著地違反模型假設(shè)。

• Heteroskedasticity（異方差性）： H 統(tǒng)計量為 0.84，P-value 為 0.87。較大的 P-value 表示模型的殘差在異方差性方面不顯著。

綜合評價：

該模型的Log Likelihood 較小，AIC 和 BIC 較大，可能存在過擬合的風(fēng)險。模型的 ma.L1 系數(shù)顯著，但在其他方面的統(tǒng)計量未完全符合理想情況。從上方的圖形中可以觀察出未來的趨勢和季節(jié)性情況。為了更進一步分析，建議嘗試其他ARIMA模型，調(diào)整階數(shù)，以尋找更好的擬合效果。

建議和改進：

1. 探索調(diào)整模型的階數(shù)，包括 AR 和 MA 部分的階數(shù)，以獲得更好的擬合效果。
2. 可以嘗試其他時間序列模型，如 SARIMA（季節(jié)性ARIMA）等，以更好地考慮季節(jié)性因素。
3. 考慮模型中可能存在的異方差性，可能需要進一步的處理。

2 自回歸模型（AR）

2.1 自回歸模型的概念

自回歸模型（Autoregressive Model，簡稱AR模型）是一種用于時間序列分析的模型，它基于時間序列過去的觀測值來預(yù)測未來的值。AR模型的核心思想是當(dāng)前時刻的觀測值與過去某些時刻的觀測值之間存在一定的線性關(guān)系。

AR模型的數(shù)學(xué)表示如下：

$$X_t={?}_1{X}_{t?1}+{?}_2{X}_{t?2}+\dots +{?}_p{X}_{t?p}+{\epsilon }_t$$

其中：

• $X_t$ 是時間序列在時刻 $t$ 的觀測值。
• ${?}_1,{?}_2,\dots ,{?}_p$ 是模型的參數(shù)，代表了過去時刻觀測值的權(quán)重。
• $X_{t?1},X_{t?2},\dots ,X_{t?p}$ 是時間序列在過去時刻的觀測值。
• ${\epsilon }_t$ 是白噪聲，代表了模型中未被考慮的隨機誤差。

AR模型的階數(shù) $p$ 表示考慮的過去觀測值的數(shù)量。例如，AR(1)模型只考慮上一個時刻的觀測值，而AR(2)模型考慮上兩個時刻的觀測值。

AR模型的特點包括：

• 自相關(guān)性： AR模型反映了時間序列在不同時刻之間的自相關(guān)關(guān)系，即過去的觀測值對當(dāng)前值有影響。

• 平穩(wěn)性： AR模型在許多應(yīng)用中假設(shè)時間序列是平穩(wěn)的，即統(tǒng)計特性在時間上不發(fā)生明顯變化。

• 參數(shù)估計： 通過最小化殘差平方和或最大似然估計等方法，可以估計AR模型的參數(shù)。

• 模型診斷： 可以通過觀察殘差圖、自相關(guān)圖等進行模型的診斷和評估。。

2.2 使用Statsmodels進行AR模型的擬合和預(yù)測

Statsmodels庫的ARIMA類可以方便地用于自回歸模型的建模。
繼續(xù)利用上方的數(shù)據(jù)進行建模分析：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm

# 生成模擬數(shù)據(jù)
np.random.seed(12)
date_rng = pd.date_range(start='2022-01-01', end='2022-12-31', freq='M')
sales_data = np.random.randint(50, 150, size=(len(date_rng)))

sales_df = pd.DataFrame(data={'date': date_rng, 'sales': sales_data})
sales_df.set_index('date', inplace=True)

# 利用Statsmodels建立AR模型
order = (2, 0, 0)  # AR(2)模型
ar_model = sm.tsa.AutoReg(sales_df['sales'], lags=order[0])
ar_result = ar_model.fit()

# 輸出模型參數(shù)和統(tǒng)計信息
print(ar_result.summary())

# 預(yù)測未來的值
forecast_steps = 3
forecast = ar_result.predict(start=len(sales_df), end=len(sales_df)+forecast_steps-1, dynamic=False)

# 可視化
plt.plot(sales_df['sales'], label='Observations')
plt.plot(forecast, label='Forecast', linestyle='--', marker='o', color='red')
plt.title('AR Model - Observations vs Forecast')
plt.legend()
plt.show()

得到結(jié)果如下圖：

2
根據(jù)上方AutoReg模型的結(jié)果，我們可以得出以下結(jié)論：

• Log Likelihood和AIC/BIC值： Log Likelihood（對數(shù)似然）和AIC/BIC（赤池信息準則/貝葉斯信息準則）是評估模型擬合好壞的指標。Log Likelihood越高，AIC和BIC越低越好。在這個例子中，Log Likelihood相對較低，而AIC和BIC相對較高，可能表明模型的擬合效果一般。

• 系數(shù)解釋： 模型的系數(shù)表示在每一個時間點上，當(dāng)前銷售額與前兩個時間點的銷售額之間的關(guān)系。在這里，sales.L1的系數(shù)為0.6029，sales.L2的系數(shù)為-0.5704。這些系數(shù)告訴我們，銷售額與前兩個時間點的銷售額之間存在正向和負向的關(guān)聯(lián)。

• 顯著性： 系數(shù)的P值表示其在模型中的顯著性。在這里，const和sales.L2的P值較小，表明它們可能是顯著的。

• 殘差： 模型的殘差是觀測值與模型預(yù)測值之間的差異。殘差的標準差（S.D. of innovations）為20.577，表示模型的預(yù)測值相對于實際觀測值的離散程度。

從實際應(yīng)用的角度來看，該模型對于擬合這一年的銷售數(shù)據(jù)的整體趨勢表現(xiàn)得相對較好。然而，對于更準確的預(yù)測，可能需要更多的數(shù)據(jù)或者更復(fù)雜的模型。模型的有效性也取決于具體應(yīng)用場景和對誤差的容忍度。

3 ARIMA模型

3.1 將AR和MA結(jié)合，介紹ARIMA模型

ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一種用于時間序列分析和預(yù)測的經(jīng)典統(tǒng)計方法。它結(jié)合了自回歸（AR）和移動平均（MA）兩種模型，同時具有差分（Integrated）的操作。ARIMA模型通常表示為ARIMA(p, d, q)，其中：

• p（自回歸階數(shù)）：表示模型中使用的自回歸項的數(shù)量。
• d（差分階數(shù)）：表示使時間序列平穩(wěn)所需的差分次數(shù)。
• q（移動平均階數(shù)）：表示模型中使用的移動平均項的數(shù)量。

ARIMA模型的核心思想是通過對時間序列進行差分，將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后利用自回歸和移動平均項來捕捉數(shù)據(jù)中的結(jié)構(gòu)和模式。

ARIMA模型的建模步驟通常包括：

1. 平穩(wěn)性檢驗： 檢驗時間序列是否平穩(wěn)，如果不平穩(wěn)，需要進行差分直到平穩(wěn)。

2. 選擇ARIMA參數(shù)： 選擇合適的p、d、q值，可以通過觀察自相關(guān)圖（ACF）和偏相關(guān)圖（PACF）來進行初步選擇。

3. 建立ARIMA模型： 使用選定的p、d、q值建立ARIMA模型。

4. 模型擬合： 利用時間序列數(shù)據(jù)對ARIMA模型進行擬合。

5. 模型診斷： 對模型進行診斷，檢查殘差的自相關(guān)性和偏相關(guān)性，確保模型符合假設(shè)。

6. 模型預(yù)測： 利用已建立的ARIMA模型進行未來時點的預(yù)測。

3.2 利用Statsmodels進行ARIMA建模和預(yù)測

通過Statsmodels庫，我們可以輕松地應(yīng)用ARIMA模型：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm

# 生成模擬數(shù)據(jù)
np.random.seed(123)
date_rng = pd.date_range(start='2020-01-01', end='2022-12-31', freq='M')
sales_data = np.random.randint(50, 150, size=(len(date_rng)))

sales_df = pd.DataFrame(data={'date': date_rng, 'sales': sales_data})
sales_df.set_index('date', inplace=True)

# 平穩(wěn)性檢驗
result = sm.tsa.adfuller(sales_df['sales'])
print("ADF Statistic:", result[0])
print("p-value:", result[1])
print("Critical Values:", result[4])

# ACF 和 PACF
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))

# 自相關(guān)圖
plot_acf(sales_df['sales'], lags=12, ax=ax1)
ax1.set_title('Autocorrelation Function')

# 偏相關(guān)圖
plot_pacf(sales_df['sales'], lags=12, ax=ax2)
ax2.set_title('Partial Autocorrelation Function')

plt.show()

# 選擇ARIMA參數(shù)
order = (1, 0, 1)

# 建立ARIMA模型
arima_model = sm.tsa.ARIMA(sales_df['sales'], order=order)
arima_result = arima_model.fit()

# 模型診斷
# 模型評估
print(arima_result.summary())
residuals = arima_result.resid
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
sm.graphics.tsa.plot_acf(residuals, lags=12, ax=ax)
plt.title("Autocorrelation of Residuals")
plt.show()

# 模型預(yù)測
forecast_steps = 12
forecast = arima_result.get_forecast(steps=forecast_steps)
forecast_values = forecast.predicted_mean

# 輸出預(yù)測結(jié)果
print("未來12個月的銷售額預(yù)測：")
print(forecast_values)

運行上述代碼后，得出下面的結(jié)果：

從上方的結(jié)果中，我們可以得出下面的結(jié)論：

1. AIC和BIC值：

   • AIC值：344.388
   • BIC值：350.722

   通常情況下，我們會選擇AIC和BIC值較小的模型，因為它們表示了對數(shù)似然度和模型參數(shù)數(shù)量的權(quán)衡。在這個例子中，AIC和BIC的值都相對較小，表示該模型相對合適。

2. 參數(shù)估計：

   • const（截距項）的系數(shù)為113.8213，對應(yīng)的標準誤差為3.603。
   • ar.L1（AR(1)項）的系數(shù)為0.2112，對應(yīng)的標準誤差為0.778。
   • ma.L1（MA(1)項）的系數(shù)為-0.4549，對應(yīng)的標準誤差為0.698。

   這些系數(shù)表示了模型中各項的影響。需要注意的是，系數(shù)的顯著性和方向?qū)τ诶斫饽Ｐ偷挠行灾陵P(guān)重要。在這個例子中，截距項的系數(shù)顯著不為零，但AR(1)和MA(1)項的系數(shù)未顯著。

3. 殘差分析：

   • Ljung-Box統(tǒng)計量（Q值）為0.00，對應(yīng)的p-value為0.95。這表示在模型的殘差序列中沒有顯著的自相關(guān)。
   • Jarque-Bera統(tǒng)計量（JB值）為1.70，對應(yīng)的p-value為0.43。這表示在模型的殘差序列中未發(fā)現(xiàn)顯著的偏度和峰度。

殘差分析是評估模型擬合效果的關(guān)鍵部分，因為它可以告訴我們模型是否遺漏了某些重要的信息。

總體而言，該模型的AIC和BIC較小，殘差序列無明顯的自相關(guān)，并且基本符合正態(tài)性的要求。然而，由于AR(1)和MA(1)項的系數(shù)未顯著，可能需要進一步調(diào)整模型的階數(shù)或考慮其他模型。模型的有效性可能會因為時間序列的特性而有所不同，因此在實際應(yīng)用中可能需要進一步優(yōu)化。

寫在最后

通過本文的介紹，我們深入了解了Statsmodels庫在時間序列分析中的三個關(guān)鍵模型：移動平均模型（MA）、自回歸模型（AR）和ARIMA模型。Statsmodels以其強大的功能和靈活性為數(shù)據(jù)科學(xué)家和分析師提供了強大的工具，使他們能夠更好地理解和預(yù)測時間序列數(shù)據(jù)。無論是預(yù)測未來銷售趨勢，還是分析股市波動，Statsmodels都是一個值得信賴的伙伴。希望通過這篇文章，讀者對Statsmodels庫在時間序列分析中的應(yīng)用有了更深入的認識，為應(yīng)對不同時間序列問題提供了強大的工具。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-840554.html

到了這里，關(guān)于statsmodels專欄4——深度解析：Python中的Statsmodels庫時間序列分析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！