本文對(duì)筆者關(guān)于音頻信號(hào)處理中的 Limiter 的理解作以記錄。如有表述不當(dāng)之處歡迎批評(píng)指正。歡迎任何形式的轉(zhuǎn)載，但請(qǐng)務(wù)必注明出處。

1. 引言

由于工作上的需要，筆者花了一周左右的時(shí)間對(duì) limiter（它屬于動(dòng)態(tài)范圍控制器里面的一種算法，動(dòng)態(tài)范圍控制器包括 compressor, expander, limiter 和 noise gate 等，感興趣的讀者可參考筆者的另一篇博客）進(jìn)行了研究學(xué)習(xí)。期間也閱讀了不少資料，對(duì) limiter 算是有了較深入地了解。在此對(duì)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程、筆者的感悟以及算法背后所蘊(yùn)含的思想作以記錄，以方便后續(xù)回顧和他人學(xué)習(xí)。

相比于音頻信號(hào)處理中的其它算法，limiter 是一個(gè)存在感較低的算法，各種資料上所呈現(xiàn)出的原理和實(shí)現(xiàn)過(guò)程也相對(duì)簡(jiǎn)單，基本一看就懂。但是按照該原理所實(shí)現(xiàn)的 limiter 仍然需要接后處理才能滿足實(shí)際需要。

本文首先介紹了 Matlab 上的實(shí)現(xiàn)，筆者稱之為一階遞歸平滑版本的 limiter，該版本也是上面所說(shuō)的大多數(shù)資料上呈現(xiàn)的版本；然后介紹了 FFMPEG 里面的實(shí)現(xiàn)，筆者稱之為逐采樣點(diǎn)過(guò)渡平滑的 limiter。兩個(gè)版本各有優(yōu)缺點(diǎn)，可根據(jù)具體應(yīng)用的需要選擇相應(yīng)的版本。

2. Limiter 的主要作用

在音頻信號(hào)處理中，通常的做法是先將音頻采樣點(diǎn)歸一化到 $[?1.0,1.0]$，然后再對(duì)其施加各種各樣的音頻算法。然而在算法處理過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)某些音頻采樣點(diǎn)的幅度超過(guò) $1$ 的情況?；蛘咴趯⒍嗦芬纛l流混合成一路音頻流的時(shí)候，采樣點(diǎn)相加的過(guò)程中也有可能出現(xiàn)幅度超過(guò) $1$ 的情況。而使用 limiter 的主要目的就是在盡量不變動(dòng)其它采樣點(diǎn)的情況下，將這些采樣點(diǎn)的幅度全部限制在 $1$ 以內(nèi)，以避免削波。

3. 簡(jiǎn)單粗暴做法

考慮下面的采樣點(diǎn)序列 $x(n),n=1,2,?,9,10$：
$$0.990,0.995,0.997,0.999,1.010,1.005,0.998,0.997,0.995,0.992$$

可以看到中間有兩個(gè)采樣點(diǎn)的幅度是超過(guò) $1$ 的，而最簡(jiǎn)單粗暴的做法就是令這兩個(gè)采樣點(diǎn)的幅度等于 $1$（或者小于 $1$ 但是又特別特別接近于 $1$ 的一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)也稱為 limiter 的閾值，此處令該閾值等于 $1$）。經(jīng)過(guò)處理之后，上面的采樣點(diǎn)序列變?yōu)?$\hat{x}(n)$：
$$0.990,0.995,0.997,0.999,1.000,1.000,0.998,0.997,0.995,0.992$$

而這種做法可能存在的一個(gè)問(wèn)題就是，相比處理之前，處理之后的采樣點(diǎn)之間出現(xiàn)了突變，變得不平滑，在頻譜上看的話就是高頻多了些東西出來(lái)，聽著可能會(huì)有雜音。

4. 簡(jiǎn)單粗暴做法的另一種理解：增益因子

可以換個(gè)角度理解上述簡(jiǎn)單粗暴做法，即 $\hat{x}(n)$ 是通過(guò)給 $x(n)$ 中的每個(gè)采樣點(diǎn)乘以相應(yīng)的增益因子得到的，而這個(gè)增益因子序列 $g(n)$ 為：
$$1,1,1,1,1/1.010,1/1.005,1,1,1,1,$$

也就是說(shuō) $\hat{x}(n)=x(n)g(n)$?？梢钥吹?，幅度小于 limiter 閾值的采樣點(diǎn)的增益因子為 $1$。幅度大于 limiter 閾值的采樣點(diǎn)的增益因子小于 $1$，且幅度越大，增益因子越小。也就是說(shuō)，增益因子可由以下公式計(jì)算：
$$g(n)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{abs}(x(n))\le lt\\ lt/\text{abs}(x(n)),& \text{abs}(x(n))>lt\end{array}\text{\hspace{1em}(1-1)}$$

其中 $lt$ 表示 limiter 的閾值（此處取值為 $1$）。上一節(jié)提到這種簡(jiǎn)單粗暴做法可能會(huì)導(dǎo)致采樣點(diǎn)之間出現(xiàn)突變，引入增益因子這個(gè)概念之后，這種突變就可以理解為增益因子之間的突變。因此，為了解決這種突變，目前大多數(shù)做法都是對(duì)增益因子 $g(n)$ 做平滑。接下來(lái)介紹的兩個(gè)版本都是用的這個(gè)思想，區(qū)別在于所使用的平滑方法。

5. 一階遞歸平滑版本的 Limiter

這兒參考 Matlab 中的實(shí)現(xiàn)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明，其它資料中的實(shí)現(xiàn)也大差不差，基本一致（也可參考 DAFX: Digital Audio Effects Second Edition 中的實(shí)現(xiàn)）。這類實(shí)現(xiàn)使用一階遞歸平滑的方法對(duì)增益因子進(jìn)行平滑，這也是音頻信號(hào)處理中常用的平滑方法。平滑的增益因子 $g_s(n)$ 可以通過(guò)以下式子計(jì)算得到：
$$g_s(n)=\{\begin{array}{ll}(1?{\alpha }_a)g_s(n?1)+{\alpha }_{a}g(n),& g(n)<=g_s(n?1)\\ (1?{\alpha }_r)g_s(n?1)+{\alpha }_{r}g(n),& g(n)>g_s(n?1)\end{array}\text{\hspace{1em}(1-2)}$$

其中 ${\alpha }_a$ 是所謂的攻擊時(shí)間（attack time）系數(shù)，${\alpha }_r$ 是釋放時(shí)間（release time）系數(shù)，可以通過(guò)下式計(jì)算：
$$\begin{array}{r}{\alpha }_{?}=1?\text{exp}(\frac{?{\text{log}}_{\text{e}}(9)}{F_s\times T_{?}})\end{array}\text{\hspace{1em}(1-3)?}$$

用具體的攻擊時(shí)間或釋放時(shí)間替換 $T_{?}$ （單位為秒）即可得到對(duì)應(yīng)的攻擊時(shí)間系數(shù)或釋放時(shí)間系數(shù)。$F_s$ 是音頻信號(hào)的采樣率?？梢钥吹狡交蟮脑鲆嬉蜃?$g_s(n)$ 是對(duì)當(dāng)前采樣點(diǎn)的增益因子 $g(n)$ 和歷史采樣點(diǎn)的增益因子 $g(n?1),g(n?2),g(n?3)?g(1)$ 做了指數(shù)平滑。

將上述平滑之后的增益因子與原始信號(hào)相乘，就可得到一階遞歸平滑版本的 limiter 的處理結(jié)果：${\hat{x}}_s(n)=x(n)g_s(n)$。

5.1 攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間

關(guān)于攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間的介紹可以參考 Matlab。下面筆者舉例說(shuō)明下對(duì)這兩個(gè)時(shí)間的理解，后續(xù) FFMPEG 實(shí)現(xiàn)的 limiter 也用到了這兩個(gè)參數(shù)。

考慮一個(gè)正在參加短跑體測(cè)的大學(xué)生，他需要從 $0\text{m/s}$ 快速加速到他的最大速度 $8\text{m/s}$，等跑到終點(diǎn)后再慢慢減速到 $0\text{m/s}$。其中加速所用的時(shí)間在這里相當(dāng)于攻擊時(shí)間，減速所用的時(shí)間相當(dāng)于釋放時(shí)間。更一般的來(lái)說(shuō)，攻擊時(shí)間可以理解為從初始狀態(tài)切換到期望狀態(tài)所用的時(shí)間，釋放時(shí)間可以理解為從期望狀態(tài)恢復(fù)到初始狀態(tài)所用的時(shí)間。在這里大學(xué)生的初始狀態(tài)就是 $0\text{m/s}$，期望狀態(tài)就是 $8\text{m/s}$。大部分情況下攻擊時(shí)間短于釋放時(shí)間。

再按照此方式解釋下 limiter 中的攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間。假設(shè) $F_s=44100$, $T_a=0.001s$, $T_r=0.005s$（即 ${\alpha }_a=0.0486,{\alpha }_r=0.0099$）。將 $g(n)$ 的值代入上述平滑公式可得 $g_s(n)=g(n)=1,n=1,2,3,4$。該取值是增益因子的初始狀態(tài)，而 $g(5)=1/1.010=0.990$ 這是增益因子的期望狀態(tài)。那么增益因子從初始狀態(tài) $1$ 切換到期望狀態(tài) $0.990$ 需要多長(zhǎng)時(shí)間哪？這就是由攻擊時(shí)間決定的。使用一階遞歸平滑方法的話，$g(5)$ 的值需要持續(xù) $T_a=0.001$ 秒之多，在這么多的值上遞歸平滑之后，$g_s$ 的值才會(huì)逐漸接近 $0.990$。不過(guò)可以看到 $g(5)$ 的值只持續(xù)了一個(gè)采樣點(diǎn)，而且 $g(n)>g(5),n=6,7,8,9,10$，因此 $g_s$ 的值將不會(huì)接近 $0.990$。釋放時(shí)間也可以這么理解，即讓增益因子從小于 $1$（期望狀態(tài)） 恢復(fù)到等于 $1$（初始狀態(tài)），需要增益因子為 $1$ 的采樣點(diǎn)持續(xù) $T_r=0.005$ 秒之多?？梢钥吹揭浑A遞歸平滑方法存在滯后性，需要相應(yīng)的采樣點(diǎn)持續(xù)一段時(shí)間之后，$g_s$ 的取值才能接近所要的增益因子取值。

上面只是解釋了 limiter 中攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間的含義與作用，如果讀者想進(jìn)一步了解為什么攻擊時(shí)間和攻擊時(shí)間系數(shù)（或釋放時(shí)間和釋放時(shí)間系數(shù)）是上面那樣的公式關(guān)系，又或者為什么攻擊時(shí)間系數(shù)（或釋放時(shí)間系數(shù)）是以上面那樣的方式參與到一階遞歸平滑公式中的，可以查閱更多的資料學(xué)習(xí)研究。

5.2 存在的問(wèn)題

按照上述方法計(jì)算出的 ${\hat{x}}_s(5)$ 和 ${\hat{x}}_s(6)$ 的幅度依然是大于 $1$ 的（感興趣的讀者可以按照上述公式計(jì)算下），只不過(guò)比原始的 $x(5)$ 和 $x(6)$ 的幅度小了。但并沒有從根本上解決將幅度限制在 $1$ 以內(nèi)的這個(gè)問(wèn)題。

DAFX: Digital Audio Effects Second Edition 中有提到為了較好地解決這個(gè)問(wèn)題，可以后接一個(gè) soft clipping。

筆者還想到另一個(gè)處理該問(wèn)題的方法，但并不能保證 100% 解決。方法就是將 limiter 的閾值降低，也就是說(shuō)不要用 $1$ 或小于 $1$ 但又特別特別接近于 $1$ 的數(shù)來(lái)當(dāng)閾值，而是用一個(gè)較小的閾值，比如 $0.9$。

不過(guò)，經(jīng)過(guò)上面的分析可以看到，這個(gè)版本的 limiter 可以做到零延遲，某些對(duì)延遲要求較高的應(yīng)用，可以使用它。

6 逐采樣點(diǎn)過(guò)渡平滑版本的 Limiter

這兒講的是 FFMPEG 中的實(shí)現(xiàn)，是筆者在偶然間發(fā)現(xiàn)的，但又不知該怎么稱呼好，因此叫了這個(gè)名字。與上述版本相比，該版本的 limiter 使用不同的平滑方法。上面提到，一階遞歸平滑版本存在增益因子滯后性的問(wèn)題，從而導(dǎo)致處理完的采樣點(diǎn)的幅度可能大于閾值，但它可以做到零延遲。而該版本可以做到增益因子零滯后，也就是能保證處理完的采樣點(diǎn)的幅度不大于閾值，但它卻做不到零延遲。也就是說(shuō)該版本要計(jì)算當(dāng)前采樣點(diǎn)最終的增益因子，必須要用到未來(lái)采樣點(diǎn)的信息。

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的采樣點(diǎn)序列 $x_1(n),n=1,2,?,9,10$：
$$0.990,0.995,0.997,0.999,1.010,0.999,0.998,0.997,0.995,0.992$$

當(dāng)閾值 $lt=1$ 時(shí)，該序列所對(duì)應(yīng)的增益因子 $g_1(n)$ 為：
$$1,1,1,1,1/1.010,1,1,1,1,1$$

可以看到除了 $g_1(5)=1/1.010=0.990$ 之外，其余增益因子均等于 $1$。FFMPEG 中的做法就是讓增益因子從 $1$ 均勻地過(guò)渡到 $0.990$, 然后再?gòu)?$0.990$ 均勻地過(guò)渡到 $1$。具體做法如下：
在攻擊階段，讓增益因子從 $g_1(2)$ 開始逐漸平滑過(guò)渡到 $g_1(5)=0.990$，一個(gè)可取的做法就是從 $g_1(2)$ 開始，每個(gè)增益因子在前一個(gè)增益因子的基礎(chǔ)上加 $(0.990?1)/(5?2+1)=?0.0025$。經(jīng)過(guò)運(yùn)算后，前五個(gè)增益因子的取值分別為 $1,0.9975,0.995,0.9925,0.990$ 達(dá)到了逐漸平滑到 $g_1(5)=0.990$ 的目的，且不存在滯后性。同理，在釋放階段，可以讓增益因子從 $g_1(5)=0.990$ 逐漸平滑過(guò)渡到 $g_1(10)=1$。即從 $g_1(6)$ 開始，每個(gè)增益因子在前一個(gè)增益因子的基礎(chǔ)上加 $(1?0.990)/(10?6+1)=0.002$。經(jīng)過(guò)運(yùn)算后，后五個(gè)增益因子的取值分別為 $0.992,0.994,0.996,0.998,1$。該版本最終平滑過(guò)后的增益因子 $g_{1s}(n)$ 為：
$$1,0.9975,0.995,0.9925,0.990,0.992,0.994,0.996,0.998,1$$

最后，再將 $x_1(n)$ 與 $g_{1s}(n)$ 相乘，就得到了 FFMPEG 版的結(jié)果?？梢钥吹剑?jīng)過(guò)處理之后，采樣點(diǎn)的幅度都不大于閾值。

上面就是 FFMPEG 中 limiter 的實(shí)現(xiàn)原理。相信讀者看完之后應(yīng)該能理解筆者為什么起這個(gè)名字稱呼它了。讀者可以算算上述例子中的攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間分別是多少，攻擊時(shí)間和釋放時(shí)間越大，最終計(jì)算的增益因子之間的差異就越小，增益因子之間就越平滑。還需要注意到的是 $g_{1s}(2)$ 的值與 $g_1(5)$ 的值有關(guān)，因此該方法無(wú)法做到零延遲，而且延遲時(shí)間等于攻擊時(shí)間。

上面只是簡(jiǎn)單說(shuō)明了該版本的思想，看著也挺簡(jiǎn)單，沒什么難度，但實(shí)際情況往往更加復(fù)雜。比如一段音頻序列中短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)多個(gè)幅度超出閾值的采樣點(diǎn)，應(yīng)該怎么處理才能保證讓每個(gè)采樣點(diǎn)都能滿足要求那。這才是該版本的難點(diǎn)之一，筆者能力有限，不能用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述清楚這個(gè)過(guò)程。感興趣的讀者可以閱讀 FFMPEG 的實(shí)現(xiàn)，了解了其思想之后，看起來(lái)就能容易些。

7 總結(jié)

在初步接到這個(gè)需求的時(shí)候，是想實(shí)現(xiàn)一個(gè)延遲可設(shè)的 limiter, 本以為不會(huì)花太多的時(shí)間和精力，應(yīng)該很快就能完成。但隨著深入學(xué)習(xí)研究，才發(fā)現(xiàn)一個(gè)小小的算法，要想一步一步優(yōu)化它，讓它更加完美，也并不是像它表面看起來(lái)那么簡(jiǎn)單。從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到提出解決方案，這后面蘊(yùn)含的思想是十分美妙的，這也是算法的魅力之一。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-833750.html

到了這里，關(guān)于聊聊音頻信號(hào)處理中一個(gè)不太起眼的算法-limiter的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！