70. 爬樓梯（進階版）

卡碼網(wǎng)：57. 爬樓梯(opens new window)

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

注意：給定 n 是一個正整數(shù)。

輸入描述：輸入共一行，包含兩個正整數(shù)，分別表示n, m

輸出描述：輸出一個整數(shù)，表示爬到樓頂?shù)姆椒〝?shù)。

輸入示例：3 2

輸出示例：3

提示：

當 m = 2，n = 3 時，n = 3 這表示一共有三個臺階，m = 2 代表你每次可以爬一個臺階或者兩個臺階。

此時你有三種方法可以爬到樓頂。

1 階 + 1 階 + 1 階段
1 階 + 2 階
2 階 + 1 階

思路

之前講這道題目的時候，因為還沒有講背包問題，所以就只是講了一下爬樓梯最直接的動規(guī)方法（斐波那契）。

這次終于講到了背包問題，我選擇帶錄友們再爬一次樓梯！

這道題目 我們在動態(tài)規(guī)劃：爬樓梯 (opens new window)中已經(jīng)講過一次了，這次我又給本題加點料，力扣上沒有原題，所以可以在卡碼網(wǎng)57. 爬樓梯 (opens new window)上來刷這道題目。

我們之前做的 爬樓梯 是只能至多爬兩個臺階。

這次改為：一步一個臺階，兩個臺階，三個臺階，…，直到 m個臺階。問有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

這又有難度了，這其實是一個完全背包問題。

1階，2階，… m階就是物品，樓頂就是背包。

每一階可以重復使用，例如跳了1階，還可以繼續(xù)跳1階。

問跳到樓頂有幾種方法其實就是問裝滿背包有幾種方法。

此時大家應該發(fā)現(xiàn)這就是一個完全背包問題了！

和昨天的題目動態(tài)規(guī)劃：377. 組合總和 Ⅳ (opens new window)基本就是一道題了。

動規(guī)五部曲分析如下：

確定dp數(shù)組以及下標的含義
dp[i]：爬到有i個臺階的樓頂，有dp[i]種方法。

確定遞推公式
在動態(tài)規(guī)劃：494.目標和 (opens new window)、 動態(tài)規(guī)劃：518.零錢兌換II (opens new window)、動態(tài)規(guī)劃：377. 組合總和 Ⅳ (opens new window)中我們都講過了，求裝滿背包有幾種方法，遞推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本題呢，dp[i]有幾種來源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么遞推公式為：dp[i] += dp[i - j]

dp數(shù)組如何初始化
既然遞歸公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定為1，dp[0]是遞歸中一切數(shù)值的基礎所在，如果dp[0]是0的話，其他數(shù)值都是0了。

下標非0的dp[i]初始化為0，因為dp[i]是靠dp[i-j]累計上來的，dp[i]本身為0這樣才不會影響結果

確定遍歷順序
這是背包里求排列問題，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三個臺階，但是這兩種方法不一樣！

所以需將target放在外循環(huán)，將nums放在內(nèi)循環(huán)。

每一步可以走多次，這是完全背包，內(nèi)循環(huán)需要從前向后遍歷。

舉例來推導dp數(shù)組
介于本題和動態(tài)規(guī)劃：377. 組合總和 Ⅳ (opens new window)幾乎是一樣的，這里我就不再重復舉例了。

以上分析完畢，C++代碼如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    while (cin >> n >> m) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍歷物品
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍歷背包
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        cout << dp[n] << endl;
    }
}

322. 零錢兌換

力扣題目鏈接(opens new window)

給定不同面額的硬幣 coins 和一個總金額 amount。編寫一個函數(shù)來計算可以湊成總金額所需的最少的硬幣個數(shù)。如果沒有任何一種硬幣組合能組成總金額，返回 -1。

你可以認為每種硬幣的數(shù)量是無限的。

示例 1：

輸入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
輸出：3
解釋：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：

輸入：coins = [2], amount = 3
輸出：-1
示例 3：

輸入：coins = [1], amount = 0
輸出：0
示例 4：

輸入：coins = [1], amount = 1
輸出：1
示例 5：

輸入：coins = [1], amount = 2
輸出：2
提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

思路

在動態(tài)規(guī)劃：518.零錢兌換II (opens new window)中我們已經(jīng)兌換一次零錢了，這次又要兌換，套路不一樣！

題目中說每種硬幣的數(shù)量是無限的，可以看出是典型的完全背包問題。

動規(guī)五部曲分析如下：

確定dp數(shù)組以及下標的含義
dp[j]：湊足總額為j所需錢幣的最少個數(shù)為dp[j]

確定遞推公式
湊足總額為j - coins[i]的最少個數(shù)為dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一個錢幣coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考慮coins[i]）

所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。

遞推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

dp數(shù)組如何初始化
首先湊足總金額為0所需錢幣的個數(shù)一定是0，那么dp[0] = 0;

其他下標對應的數(shù)值呢？

考慮到遞推公式的特性，dp[j]必須初始化為一個最大的數(shù)，否則就會在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比較的過程中被初始值覆蓋。

所以下標非0的元素都是應該是最大值。

代碼如下：

vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;

確定遍歷順序
本題求錢幣最小個數(shù)，那么錢幣有順序和沒有順序都可以，都不影響錢幣的最小個數(shù)。

所以本題并不強調(diào)集合是組合還是排列。

如果求組合數(shù)就是外層for循環(huán)遍歷物品，內(nèi)層for遍歷背包。

如果求排列數(shù)就是外層for遍歷背包，內(nèi)層for循環(huán)遍歷物品。

在動態(tài)規(guī)劃專題我們講過了求組合數(shù)是動態(tài)規(guī)劃：518.零錢兌換II (opens new window)，求排列數(shù)是動態(tài)規(guī)劃：377. 組合總和 Ⅳ (opens new window)。

所以本題的兩個for循環(huán)的關系是：外層for循環(huán)遍歷物品，內(nèi)層for遍歷背包或者外層for遍歷背包，內(nèi)層for循環(huán)遍歷物品都是可以的！

那么我采用coins放在外循環(huán)，target在內(nèi)循環(huán)的方式。

本題錢幣數(shù)量可以無限使用，那么是完全背包。所以遍歷的內(nèi)循環(huán)是正序

綜上所述，遍歷順序為：coins（物品）放在外循環(huán)，target（背包）在內(nèi)循環(huán)。且內(nèi)循環(huán)正序。

舉例推導dp數(shù)組
以輸入：coins = [1, 2, 5], amount = 5為例

dp[amount]為最終結果。

以上分析完畢，C++ 代碼如下：

// 版本一

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍歷物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍歷背包
                if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值則跳過
                    dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

時間復雜度: O(n * amount)，其中 n 為 coins 的長度
空間復雜度: O(amount)
對于遍歷方式遍歷背包放在外循環(huán)，遍歷物品放在內(nèi)循環(huán)也是可以的，我就直接給出代碼了

// 版本二

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {  // 遍歷背包
            for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍歷物品
                if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
                }
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
        return dp[amount];
    }
};

Python：
先遍歷物品 后遍歷背包

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)  # 創(chuàng)建動態(tài)規(guī)劃數(shù)組，初始值為正無窮大
        dp[0] = 0  # 初始化背包容量為0時的最小硬幣數(shù)量為0

        for coin in coins:  # 遍歷硬幣列表，相當于遍歷物品
            for i in range(coin, amount + 1):  # 遍歷背包容量
                if dp[i - coin] != float('inf'):  # 如果dp[i - coin]不是初始值，則進行狀態(tài)轉移
                    dp[i] = min(dp[i - coin] + 1, dp[i])  # 更新最小硬幣數(shù)量

        if dp[amount] == float('inf'):  # 如果最終背包容量的最小硬幣數(shù)量仍為正無窮大，表示無解
            return -1
        return dp[amount]  # 返回背包容量為amount時的最小硬幣數(shù)量

先遍歷背包 后遍歷物品

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)  # 創(chuàng)建動態(tài)規(guī)劃數(shù)組，初始值為正無窮大
        dp[0] = 0  # 初始化背包容量為0時的最小硬幣數(shù)量為0

        for i in range(1, amount + 1):  # 遍歷背包容量
            for j in range(len(coins)):  # 遍歷硬幣列表，相當于遍歷物品
                if i - coins[j] >= 0 and dp[i - coins[j]] != float('inf'):  # 如果dp[i - coins[j]]不是初始值，則進行狀態(tài)轉移
                    dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i])  # 更新最小硬幣數(shù)量

        if dp[amount] == float('inf'):  # 如果最終背包容量的最小硬幣數(shù)量仍為正無窮大，表示無解
            return -1
        return dp[amount]  # 返回背包容量為amount時的最小硬幣數(shù)量

先遍歷物品 后遍歷背包（優(yōu)化版）

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for coin in coins:
            for i in range(coin, amount + 1): # 進行優(yōu)化，從能裝得下的背包開始計算，則不需要進行比較
                # 更新湊成金額 i 所需的最少硬幣數(shù)量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

先遍歷背包 后遍歷物品（優(yōu)化版）

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, amount + 1):  # 遍歷背包容量
            for coin in coins:  # 遍歷物品
                if i - coin >= 0:
                    # 更新湊成金額 i 所需的最少硬幣數(shù)量
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

        return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

279.完全平方數(shù)

力扣題目鏈接(opens new window)

給定正整數(shù) n，找到若干個完全平方數(shù)（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它們的和等于 n。你需要讓組成和的完全平方數(shù)的個數(shù)最少。

給你一個整數(shù) n ，返回和為 n 的完全平方數(shù)的 最少數(shù)量 。

完全平方數(shù) 是一個整數(shù)，其值等于另一個整數(shù)的平方；換句話說，其值等于一個整數(shù)自乘的積。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方數(shù)，而 3 和 11 不是。

示例 1：

輸入：n = 12
輸出：3
解釋：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：

輸入：n = 13
輸出：2
解釋：13 = 4 + 9
提示：

1 <= n <= 10^4

思路

可能剛看這種題感覺沒啥思路，又平方和的，又最小數(shù)的。

我來把題目翻譯一下：完全平方數(shù)就是物品（可以無限件使用），湊個正整數(shù)n就是背包，問湊滿這個背包最少有多少物品？

感受出來了沒，這么濃厚的完全背包氛圍，而且和昨天的題目動態(tài)規(guī)劃：322. 零錢兌換 (opens new window)就是一樣一樣的！

動規(guī)五部曲分析如下：

確定dp數(shù)組（dp table）以及下標的含義
dp[j]：和為j的完全平方數(shù)的最少數(shù)量為dp[j]

確定遞推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以湊成dp[j]。

此時我們要選擇最小的dp[j]，所以遞推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

dp數(shù)組如何初始化
dp[0]表示 和為0的完全平方數(shù)的最小數(shù)量，那么dp[0]一定是0。

有同學問題，那0 * 0 也算是一種啊，為啥dp[0] 就是 0呢？

看題目描述，找到若干個完全平方數(shù)（比如 1, 4, 9, 16, …），題目描述中可沒說要從0開始，dp[0]=0完全是為了遞推公式。

非0下標的dp[j]應該是多少呢？

從遞歸公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要選最小的，所以非0下標的dp[j]一定要初始為最大值，這樣dp[j]在遞推的時候才不會被初始值覆蓋。

確定遍歷順序
我們知道這是完全背包，

如果求組合數(shù)就是外層for循環(huán)遍歷物品，內(nèi)層for遍歷背包。

如果求排列數(shù)就是外層for遍歷背包，內(nèi)層for循環(huán)遍歷物品。

在動態(tài)規(guī)劃：322. 零錢兌換 (opens new window)中我們就深入探討了這個問題，本題也是一樣的，是求最小數(shù)！

所以本題外層for遍歷背包，內(nèi)層for遍歷物品，還是外層for遍歷物品，內(nèi)層for遍歷背包，都是可以的！

我這里先給出外層遍歷背包，內(nèi)層遍歷物品的代碼：

ector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍歷背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍歷物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

舉例推導dp數(shù)組
已輸入n為5例，dp狀態(tài)圖如下：

dp[0] = 0 dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1 dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2 dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3 dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1 dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]為最終結果。

以上動規(guī)五部曲分析完畢C++代碼如下：

// 版本一

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍歷背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍歷物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

時間復雜度: O(n * √n)
空間復雜度: O(n)
同樣我在給出先遍歷物品，在遍歷背包的代碼，一樣的可以AC的。

// 版本二

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍歷物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍歷背包
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

Python：
先遍歷物品, 再遍歷背包

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, n + 1):  # 遍歷背包
            for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):  # 遍歷物品
                # 更新湊成數(shù)字 i 所需的最少完全平方數(shù)數(shù)量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)

        return dp[n]

先遍歷背包, 再遍歷物品

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):  # 遍歷物品
            for j in range(i * i, n + 1):  # 遍歷背包
                # 更新湊成數(shù)字 j 所需的最少完全平方數(shù)數(shù)量
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])

        return dp[n]

其他版本文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-796415.html

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 創(chuàng)建動態(tài)規(guī)劃數(shù)組，初始值為最大值
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        # 初始化已知情況
        dp[0] = 0

        # 遍歷背包容量
        for i in range(1, n + 1):
            # 遍歷完全平方數(shù)作為物品
            j = 1
            while j * j <= i:
                # 更新最少完全平方數(shù)的數(shù)量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                j += 1

        # 返回結果
        return dp[n]

到了這里，關于leetcode 動態(tài)規(guī)劃(爬樓梯、零錢兌換、完全平方數(shù))的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！