目錄

集合

集合運算

函數(shù)（映射、變換）

序列

求和

?編輯集合的基數(shù)

矩陣

集合

集合是對象的一個無序的聚集，對象也稱為集合的元素或成員。集合包含它的元素。

????????∈A：a是集合A中一個元素

?????????A：a是集合A中一個元素

描述集合的方式：

? ? ? ? 花名冊方法：在可能的情況下一 一列出集合中的元素；有明顯規(guī)律的就先列出集合的某些元素，然后用省略號代替。

? ? ? ? 集合構(gòu)造器：通過描述作為集合的成員必須具備的性質(zhì)來刻畫集合中的那些元素

??????????????????????????????eg.O={x|x是小于10的正奇數(shù)}

? ?= {0,1,2,3...}	自然數(shù)集
? ?= {...,-2,-1,0,1,2,...}	整數(shù)集
?= {1,2,3,...}	正整數(shù)集
? ?= {p/q | p∈，q∈，且q≠0}	；有理數(shù)集
	實數(shù)集
	正實數(shù)集
	復(fù)數(shù)集

A和B是相同的集合：當且僅當A和B擁有相同的元素，即?

空集：?或者 { }表示，空集是一個特殊的不含任何元素的集合

單元素集：只有一個元素的集合

文氏圖：全集+其他集合

????????? ??

子集：?當且僅當

? ? ? ? 對于任意集合S，(i)??, (ii)?

真子集：，當且僅當集合A是集合B的子集但A≠B

??????????????????????????????即?

證明集合A和B相等，就證明??和?

集合的大?。毫頢為集合。如果S中恰有n個不同元素(n為非負整數(shù))，我們就說S是有限集，而n是S的基數(shù)。S的基數(shù)記為 |?S |。

一個集合稱為是無限的如果它不是有限的。

冪集：給定集合S，S的冪集是集合S所有子集的集合。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如果一個集合有n個元素，那么它的冪集就有個元素

有序n元組：?是以為第1個元素，為第2個元素 , ... , 為第n個元素的有序聚集

? ? ? ? 兩個有序n元組是相等的當且僅當每一對對應(yīng)的元素都相等。

? ? ? ? 有序二元組稱為序偶。序偶(a,b)和(c,d)相等當且僅當 a=c 和 b=d。

笛卡兒積：令A(yù)和B為集合。笛卡兒積用表示，是所有序偶 (a,b) 的集合，其中 a∈A 且 b∈B 。

????????

? ? ? ? 笛卡兒積的個數(shù) = 集合A中元素個數(shù)??集合B中元素個數(shù)

? ? ? ? 笛卡兒積??和??并不相等，除非或或或?

集合??的笛卡兒積用表示，是有序n元組(?,?, ... ,?)的集合，其中??屬于??,?。

? ? ? ? 即

集合A和自身的笛卡兒積：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

關(guān)系：笛卡兒積??的一個子集 R 稱為是從集合A到集合B的一個關(guān)系。R的元素是序偶，其中第一個元素屬于A而第二個元素屬于B。

使用帶量詞的集合符號：

????????? 是?的簡寫，表示P(x)在集合S所有元素上的全稱量化

??????????是 的簡寫，表示P(x)在集合S所有元素上的存在量化

真值集：給定謂詞P和論域D，定義P的真值集為D中使P(x)為真的元素x組成的集合。

? ? ? ? ? ? ? P(x)的真值集記為?。

? ? ? ? ? ? ? eg. 謂詞P(x) 是 ''|x| = 1''，論域是整數(shù)集合。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這里P的真值集為{-1 , 1}?。

????????????????在論域上為真當且僅當P的真值集是集合。

????????????????在論域上為真當且僅當P的真值集非空。

集合運算

令A(yù)和B為集合：

兩個集合稱為是不相交的，如果它們的交集為空集。

容斥原理（包含排斥原理）：

差集：

補集：

集合恒等式：可以通過成員表（與真值表類似，0&1）或下列恒等式證明

?

擴展的并集和交集

? ? ? ? 一組集合的并集是包含那些至少是這組集合中一個集合成員的元素的集合

? ? ? ??????????

? ? ? ? ? 一組集合的交集是包含那些屬于這組集合中所有成員集合的元素的集合

????????????????

函數(shù)（映射、變換）

令A(yù)和B非空集合。從A到B的函數(shù) f 是對元素的一種指派，對A的每個元素恰好指派B的一個元素。如果B中元素 b 是唯一由函數(shù) f 指派給A中元素 a 的，則我們就寫成 f(a)=b。如果 f 是從A到B的函數(shù)，就寫成? f：A→B。

? ? ? ? 如果 f 是從A到B的函數(shù)（f 把A映射到B），則A是 f 的定義域，B是 f 的陪域。

? ? ? ? 如果 f(a)=b，則b是a的像，a是b的原像。

? ? ? ? f 的值域或像是A中元素的所有像的集合。

? ? ? ? 陪域就是集合B的所有元素，而值域是被指派到的元素。

函數(shù)相等：當且僅當兩個函數(shù)有相同的定義域、陪域，且定義域中的每個元素映射到陪域中相同的元素。

實值函數(shù)：函數(shù)其陪域是實數(shù)集合。

整數(shù)集函數(shù)：函數(shù)其陪域是整數(shù)集合。

具有相同定義域的兩個實值函數(shù)或兩個整數(shù)集函數(shù)可以相加和相乘。

? ? ? ? 令和是從A到R的函數(shù)，那么和也是從A到R的函數(shù)。

????????????????

????????????????

令 f 為從A到B的函數(shù)，S為A的一個子集。S在函數(shù) f 下的像是由S中元素的像組成的B 的子集。用 f(S)表示S的像，則

????????f(S)是一個集合

? ? ? ??令A(yù)={a,b,c,d,e}，而B={1,2,3,4}，且 f(a)=2, f(b)=1, f(c)=4, f(d)=1及f(e)=1。子集S={b,c,d}的像是集合 f(S)={1,4}

一對一函數(shù)（單射函數(shù)）：這種函數(shù)不會把同樣的值賦給定義域中兩個不同元素。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或

在定義域內(nèi):

映上函數(shù)（滿射函數(shù)）：函數(shù)值域與陪域相等，即陪域中每個成員都是定義域中某個元素的像

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即當且僅當對每個有元素使得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 或

雙射函數(shù)：函數(shù)既是一對一的又是映上的

? ? ? ? 如果 f 時從集合A到自身的函數(shù)。如果A是有限的，那么 f 是一對一的當且僅當它是映上的。

假設(shè) f：A→B

反函數(shù)：只有在函數(shù) f 是一 一對應(yīng)的（既是一對一的，又是映上那個的），才能定義反函數(shù)

? ? ? ? ? ? ? ?當時，有

? ? ? ? ? ? ? ?一 一對應(yīng)關(guān)系稱為可逆的

? ? ? ? ? ? ? ? 不是一 一對應(yīng)關(guān)系，就稱為不可逆的

函數(shù)的合成

? ? ? ? 令 g 為從集合A到集合B的函數(shù)，f 是從集合B到集合C的函數(shù)，函數(shù) f 和 g 的合成，記作定義為?：

?????????沒有定義除非??的值域是??的定義域的子集

? ? ? ? 交換律對函數(shù)合成不成立：

????????

函數(shù)的圖：令 f 是從集合A到集合B的函數(shù)，函數(shù) f 的圖像是序偶集合{(a,b) | a∈A 且 f(a)=b}

下取整函數(shù)：把X向下取到小于或等于x又最接近x的函數(shù) ┕??┙=0或 [??]=0

上取整函數(shù)：把X向上取到大于或等于x又最接近x的函數(shù)? ┕??┙=1

?

?

階乘函數(shù)，記為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

部分函數(shù)：一個從集合A到集合B的部分函數(shù) f 是給A的一個子集（成為 f 的定義域）中的每個元素a指派唯一的一個B中的元素b。集合A和B分別稱 f 的域和陪域。f 對于A中但不在 f 的定義域中的元素?zé)o定義。當 f 的定義域等于A時，就說f是全函數(shù)。看集合&函數(shù)定義域?

序列

序列是一個從整數(shù)集的一個子集{0,1,2,,...}或{1,2,3,...}?到一個集合S的函數(shù)。用記號表示整數(shù)n的像。稱為序列的一個項。

幾何級數(shù)：? ?初始項a和公比r都為實數(shù)

算術(shù)級數(shù)：? 初始項a和公差d都為實數(shù)

遞推關(guān)系：就類似于?

斐波那契數(shù)列：初始條件?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 遞推關(guān)系?

閉公式：當為序列的項找到一個顯式公式（找到帶初始條件的遞推公式）

Lucas序列：初始條件??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 遞推關(guān)系??

求和

集合的基數(shù)

集合A和集合B有相同的基數(shù)，當且僅當存在從A到B的一個一 一對應(yīng)。當A和B有相同的基數(shù)時，就寫成??。

可數(shù)集：一個集合或者是有限集或者與自然數(shù)集具有相同的基數(shù)

? ? ? ? ? ? ? ?有理數(shù)集合就是可數(shù)無限的

? ? ? ? ? ? ? ? 如果一個無限集S是可數(shù)的，寫作 | S | =?（阿里夫零）

不可數(shù)集合：一個集合是不是可數(shù)，就稱為不可數(shù)的

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 實數(shù)集是不可數(shù)的

可數(shù)集合的任意子集合都是可數(shù)的

任何含有不可數(shù)子集合的集合都是不可數(shù)的

如果和是可數(shù)集合，則也是可數(shù)集合

矩陣

0-1矩陣：所有元素非0即1.

布爾積：運算代替加法，運算代替乘法?

? ? ? ? ? ? ? 但實際就是兩個矩陣的普通乘積文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-790846.html

到了這里，關(guān)于離散數(shù)學(xué)及應(yīng)用 -- 02 基本結(jié)構(gòu)：集合、函數(shù)、序列、求和與矩陣的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！