一、時域與頻域

什么是時域（Time domain）？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。

什么是頻域（Frequency domain）？頻域是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系。用線性代數(shù)的語言就是裝著正弦函數(shù)的空間。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學構(gòu)造。頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學范疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。

對于一個信號來說，信號強度隨時間的變化規(guī)律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性。

時域分析與頻域分析是對信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。目前，信號分析的趨勢是從時域向頻域發(fā)展。然而，它們是互相聯(lián)系，缺一不可，相輔相成的。貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳說中的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)。

二、傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)是一種對周期信號進行分解的方式。

如下圖所示，左上角為正弦方波，余下為通過不同的正弦諧波數(shù)可以去擬合這個方波結(jié)果。

可以看到，疊加的諧波信號越多時，越接近于方波信號。

傅里葉級數(shù)由法國數(shù)學家傅里葉提出，即滿足條件（狄利克雷條件）的任何周期函數(shù)可以由一系列不同頻率的正弦（余弦）函數(shù)疊加而成。這種相加形式又稱為級數(shù)，所以也稱為傅里葉級數(shù)。

三、傅里葉變換

那么對信號的不同頻率進行分解有什么好處呢？

如下圖所示，從時域上看，最下方疊加得到的信號是很難分析出里面蘊含的頻率信息的。

而通過傅里葉分解后，如下圖右圖所示，可以很容易地觀察到頻率的有無和幅度的大?。ㄏ辔灰灿袑南辔蛔V，這里沒有列出）。

因此，通過傅里葉變換將某一信號分解為不同頻率的信號，可以很容易地對信號中的某一段頻段進行觀察和操作。

3.1 傅里葉變換分類

根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：

• 非周期性連續(xù)信號（傅立葉變換（Fourier Transform））
• 周期性連續(xù)信號（傅立葉級數(shù)(Fourier Series)）
• 非周期性離散信號（離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform））
• 周期性離散信號（離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)）

這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。

面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離散信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。

但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現(xiàn)的，因為在計算機中只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于其它的變換類型只有在數(shù)學演算中才能用到，在計算機中我們只能用DFT方法。

3.2 一維傅里葉公式

其中，ω 表示頻率, t 表示時間, 它將頻率域的函數(shù)表示為時間域函數(shù) f(t) 的積分。

3.3 二維離散傅里葉變換

我們知道，灰度圖像是由二維的離散的點構(gòu)成的。二維離散傅里葉變換（Two-Dimensional Discrete Fourier Transform）常用于圖像處理中，對圖像進行傅里葉變換后得到其頻譜圖。頻譜圖中頻率高低表征圖像中灰度變化的劇烈程度。圖像中邊緣和噪聲往往是高頻信號，而圖像背景往往是低頻信號。我們在頻率域內(nèi)可以很方便地對圖像的高頻或低頻信息進行操作，完成圖像去噪，圖像增強，圖像邊緣提取等操作。

對二維圖像進行傅里葉變換公式如下：

其中，圖像長 M，高 N。F(u,v)表示頻域圖像，f(x,y)表示時域圖像。u 的范圍為[0,M-1]，v 的范圍為[0,N-1]。

對二維圖像進行傅里葉逆變換公式如下：

其中，圖像長 M，高 N。f(x,y)表示時域圖像，F(xiàn)(u,v)表示頻域圖像。x 的范圍為[0,M-1]，y 的范圍為[0,N-1]。

四、OpenCV中傅里葉變換的應用

4.1 傅里葉變換

代碼如下：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 讀取圖像
img = cv2.imread('lenna.jpg', 0)
 
# 傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
 
# 將頻譜低頻從左上角移動至中心位置
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
 
# 頻譜圖像雙通道復數(shù)轉(zhuǎn)換為0-255區(qū)間
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0], dft_shift[:,:,1]))
 
# 顯示圖像
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Original Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

效果如下：

4.2 傅里葉逆變換

代碼如下：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 讀取圖像
img = cv2.imread('lenna.jpg', 0)
 
# 傅里葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftshift = np.fft.fftshift(dft)
res1= 20*np.log(cv2.magnitude(dftshift[:,:,0], dftshift[:,:,1]))
 
# 傅里葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(dftshift)
iimg = cv2.idft(ishift)
res2 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])
 
# 顯示圖像
plt.subplot(131), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(132), plt.imshow(res1, 'gray'), plt.title('Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(133), plt.imshow(res2, 'gray'), plt.title('Inverse Fourier Image')
plt.axis('off')
plt.show()

效果如下：

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