動態(tài)規(guī)劃
動態(tài)規(guī)劃就像是解決問題的一種策略，它可以幫助我們更高效地找到問題的解決方案。這個策略的核心思想就是將問題分解為一系列的小問題，并將每個小問題的解保存起來。這樣，當(dāng)我們需要解決原始問題的時候，我們就可以直接利用已經(jīng)計算好的小問題的解，而不需要重復(fù)計算。
動態(tài)規(guī)劃與數(shù)學(xué)歸納法思想上十分相似。
數(shù)學(xué)歸納法：
-
基礎(chǔ)步驟（base case）：首先證明命題在最小的基礎(chǔ)情況下成立。通常這是一個較簡單的情況，可以直接驗證命題是否成立。
-
歸納步驟（inductive step）：假設(shè)命題在某個情況下成立，然后證明在下一個情況下也成立。這個證明可以通過推理推斷出結(jié)論或使用一些已知的規(guī)律來得到。
通過反復(fù)迭代歸納步驟，我們可以推導(dǎo)出命題在所有情況下成立的結(jié)論。
動態(tài)規(guī)劃：
-
狀態(tài)表示：
-
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：
-
初始化：
-
填表順序：
-
返回值：
數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)步驟相當(dāng)于動態(tài)規(guī)劃中初始化步驟。
數(shù)學(xué)歸納法的歸納步驟相當(dāng)于動態(tài)規(guī)劃中推導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。
動態(tài)規(guī)劃的思想和數(shù)學(xué)歸納法思想類似。
在動態(tài)規(guī)劃中，首先得到狀態(tài)在最小的基礎(chǔ)情況下的值，然后通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得到下一個狀態(tài)的值，反復(fù)迭代，最終得到我們期望的狀態(tài)下的值。
接下來我們通過三道例題，深入理解動態(tài)規(guī)劃思想，以及實(shí)現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃的具體步驟。
DP41 【模板】01背包
題目解析
第一問
狀態(tài)表示
狀態(tài)表示通常由經(jīng)驗+題目要求得的。
我們最容易想到的狀態(tài)表示是，定義dp[i]表示從前i個物品中挑選，背包所能達(dá)到的最大價值。
動態(tài)規(guī)劃最重要的是希望能夠推導(dǎo)出一個遞推式，使得我們從一個很小的，很容易得到的基礎(chǔ)解，帶入遞推式，反復(fù)推導(dǎo)，最后得到我們希望得到的答案。所以我們很容易想到，根據(jù)從前i個物品中挑選，挑選物品的數(shù)量，構(gòu)成我們的每一項，希望能夠推導(dǎo)出遞推式。
如果我們要推導(dǎo)dp[i]，我們找不到前面狀態(tài)和i位置狀態(tài)的關(guān)系，我們知道的信息是前面位置狀態(tài)的值，狀態(tài)值表示所能達(dá)到的最大價值，但是我不知道達(dá)到最大價值時，背包的容量，所以我就沒辦法考慮是否選擇第i個物品放入背包，或者不放入背包，如果我們此時還知道對應(yīng)的背包容量，如果還有位置，我們就可以選擇把第i個物品放進(jìn)去，這樣似乎可以推導(dǎo)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。所以此時我們還需要表示一個狀態(tài)，就是此時背包內(nèi)物品占用的空間是多大。
因此我們可以定義，f[i]表示從前i個物品中挑選，背包所能達(dá)到的最大價值。g[i]表示從從前i個物品中挑選，背包所能達(dá)到的最大價值時，背包占用的體積。
嘗試推導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，
-
如果把第i個物品放入背包， 此時g[i-1]+v[i]<=V ， 此時從前i個物品挑選，所能達(dá)到的最大價值，等價于從前i-1個物品挑選，所能達(dá)到的最大價值加上第i個物品的價值，即在f[i]的基礎(chǔ)上，把第i個物品放入背包，此時f[i]=f[i-1]+w[i]，g[i]=g[i-1]+v[i]。
-
如果不把第i個物品放入背包， 此時g[i-1]+v[i]>V， 此時f[i]=f[i-1],g[i]=g[i-1]，這樣寫是對的嗎？乍一看好像沒什么問題，但這樣不對，有可能從前i-1個物品中挑選，達(dá)到的價值不是最大，而是第二大，此時的體積再加上第i個位置的物品的體積比背包總體積小，但是兩者價值加起來比f[i-1]大，這種情況f[i]!=f[i-1]。也就是我們還需要遍歷前面所有狀態(tài)，看看是不是（g[j]+v[i]<=V）這種情況，如果是，記錄一下f[j]的值，找到最大的f[j]值，然后和f[i-1]比較，選大的值。這樣狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的推導(dǎo)就變得十分麻煩，我們希望改變狀態(tài)表示，使得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程能夠正常推導(dǎo)，并且簡便。
改進(jìn)，
上面遇到的問題是，我們不知道，從前i-1物品挑選，價值和第二大的體積花費(fèi)，價值和第三大的體積花費(fèi)......如果知道這些狀態(tài)，我們就可以直接用。
我們需要的狀態(tài)是上面的體積花費(fèi)，因此我們可以以體積為劃分，定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
這樣我們就使得原先只能存儲最大價值的體積g，轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢源鎯Σ煌w積花費(fèi)的二維dp。
綜上所述，狀態(tài)表示為,定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
-
如果把第i個物品放入背包， dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。此時剩下的體積最多是j-v[i]。
-
j-v[i]<0， 此時沒辦法把第i個物品放入背包，此時dp[i][j]=0。
-
j-v[i]=0， 此時把第i個物品放入背包，背包放不下東西了，此時dp[i][j]=w[i]。
-
j-v[i]>0， 此時把第i個物品放入背包，背包還能放j-v[i]體積的物品，此時dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。
-
-
如果不把第i個物品放入背包， 此時背包還能放j體積的物品，從前i-1物品中挑選，dp[i][j]=dp[i-1][j]，
當(dāng)j-v[i]=0時，dp[i-1][0]=0，此時dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。
將上述情況合并和簡化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為，
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i])
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);初始化
通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們我們知道在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-v[i])的位置的狀態(tài)，j-v[i]一定不會越界，可能越界的是i-1，而我們狀態(tài)表示為定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。所以我們本質(zhì)上多添加了一列。我們只需要初始第一行即可。
i=0表示不選物品，所以價值都為0，第一行全部初始化為0。
填表順序
通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們我們知道在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-v[i])的位置的狀態(tài)，j-v[i]一定不會越界。
-
固定i改變j， i的變化需要從小到大，j的變化可以從小到大也可以從大到小。
-
固定j改變i， j的變化需要從小到大，因為要用到（i-1，j）位置的狀態(tài)，所以i的變化也需要從小到大。
返回值
狀態(tài)表示為定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
結(jié)合題目意思，需要打印dp[n][V]。
這樣我們就解決了第一問。
第二問
狀態(tài)表示
第二問需要求恰好體積為V時，背包所能達(dá)到的最大價值。
在第一問的基礎(chǔ)上，我們很容易定義這樣一個狀態(tài)表示，定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積恰好為j，所有選法中所能達(dá)到的最大價值。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
-
如果把第i個物品放入背包， dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積恰好為j，所有選法中所能達(dá)到的最大價值。此時剩下的體積恰好是j-v[i]。
-
j-v[i]<0， 此時沒辦法把第i個物品放入背包，此時dp[i][j]=0。
-
j-v[i]=0， 此時把第i個物品放入背包，背包放不下東西了，此時dp[i][j]=w[i]。
-
j-v[i]>0， 此時把第i個物品放入背包，背包還需要放j-v[i]體積的物品，此時dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。我這樣寫對嗎？此時背包必須放j-v[i]體積的物品，如果前j-1物品挑選不能滿足體積為j-v[i]的情況，此時dp[i][j]=0。如果寫成上面的式子，dp[i][j]=w[i]。因此我們還需要分類討論。
-
如果前j-1物品挑選不能滿足體積為j-v[i]的情況， 此時dp[i][j]=0。
-
如果前j-1物品挑選能滿足體積為j-v[i]的情況， 此時dp[i][j]=d[i-1][j-v[i]]+w[i]。
-
-
-
如果不把第i個物品放入背包， 此時背包還需要放j體積的物品，從前i-1物品中挑選，dp[i][j]=dp[i-1][j]。
當(dāng)j-v[i]=0時，dp[i-1][0]=0，此時dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]。
將上述情況進(jìn)行合并和簡化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1)
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);用-1表示前j-1物品挑選不能滿足體積為j-v[i]的情況。
初始化
通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們我們知道在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-v[i])的位置的狀態(tài)，j-v[i]一定不會越界，可能越界的是i-1，而我們狀態(tài)表示為定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。所以我們本質(zhì)上多添加了一列。我們只需要初始第一行即可。
i=0，表示不選擇物品，最大價值為0，所以（0,0）為0，其他位置為-1，表示達(dá)不到恰好體積為j的情況。
for (int j = 1; j <= V; j++) dp[0][j] = -1;填表順序
通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們我們知道在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-v[i])的位置的狀態(tài)，j-v[i]一定不會越界。
-
固定i改變j， i的變化需要從小到大，j的變化可以從小到大也可以從大到小。
-
固定j改變i， j的變化需要從小到大，因為要用到（i-1，j）位置的狀態(tài)，所以i的變化也需要從小到大。
返回值
狀態(tài)表示為定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
結(jié)合題目意思，需要打印dp[n][V]。此時需要判斷dp[n][V]是否==-1，等于-1表示不存在，無解返回0，如果不為-1，返回dp[n][V]。
代碼實(shí)現(xiàn)
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, V, v[N], w[N];
int dp[N][N];
int main() {
cin >> n >> V;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i])
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << dp[n][V] << endl;
//第二問
memset(dp, 0, sizeof dp);
for (int j = 1; j <= V; j++) dp[0][j] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= V; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1)
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << (dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]) << endl;
return 0;
}416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）
題目解析
狀態(tài)表示
01背包問題本質(zhì)是從一些物品中選物品，本質(zhì)上是有關(guān)組合的問題，而本題目也是在一些數(shù)中挑選出一些數(shù)，因為我們可以以01背包為模版，定義狀態(tài)表示。
01背包問題的狀態(tài)表示為，
定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積為j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
因此我們可以定義dp[i][j]表示能否從nums[0,i]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的推導(dǎo)是以最后一個位置的狀況進(jìn)行分類討論。
-
如果挑選i位置的元素，
-
如果j-nums[i]<0, 此時表示i位置元素比j還要大，此時dp[i][j]=false;
-
如果j-nums[i] =0, 此時dp[i][j]=true；
-
如果j-nums[i]>0, 此時dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]];
-
-
如果不挑選i位置的元素， 此時dp[i][j]=dp[i-1][j];
將上述情況進(jìn)行合并和簡化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j > nums[i])
dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - nums[i]];
else if(j == nums[i]) dp[i][j] = true;初始化
根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們知道，在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-nums[i])位置的狀態(tài)。
所以我們需要初始化第一行位置的狀態(tài)，在推導(dǎo)藍(lán)色部分位置狀態(tài)的時候沒有前驅(qū)，所以需要初始化這些位置的狀態(tài)值。使用（i-1，j-nums[i]）狀態(tài)時，j-nums[i]一定不會越界。所以只需要考慮（i-1，j）
狀態(tài)表示，定義dp[i][j]表示能否從nums[0,i]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j。
i==0，表示從只選擇挑選或者不挑選第一個元素，能否使數(shù)字和為j。如果nums[0]==j，或者j==0，此時dp[i][j]=true。
故初始化為，
for (int j = 0; j < n; j++)
if(nums[0] == j || j == 0) dp[0][j] = true;填表順序
根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們知道，在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-nums[i])位置的狀態(tài)。使用（i-1，j-nums[i]）狀態(tài)時，j-nums[i]一定不會越界。所以只需要考慮（i-1，j）
-
固定i改變j， i的變化，需要從小到大，j的變化可以從小到大也可以從大到小。
-
固定j改變i， j的變化可以從小到大也可以從大到小，i的變化需要從小到大。
返回值
狀態(tài)表示，定義dp[i][j]表示能否從nums[0,i]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j。
結(jié)合題目意思，我們需要在nums[0,n-1]區(qū)間挑選元素，使總數(shù)字和為所有元素數(shù)字和的一半。
所以我們可以用aim表示所有元素數(shù)字和的一半，
因此需要返回dp[n-1][aim]；
代碼實(shí)現(xiàn)
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int n = nums.size(), sum = 0;
for (auto x : nums)
sum += x;
if (sum % 2)
return false; // 如果不能平分，直接返回 false
int aim = sum / 2;
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(aim + 1));
for (int j = 0; j < n; j++)
if(nums[0] == j || j==0) dp[0][j] = true;
for (int i = 1; i < n; i++)
for (int j = 0; j <= aim; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j > nums[i])
dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - nums[i]];
else if (j == nums[i])
dp[i][j] = true;
}
return dp[n - 1][aim];
}
};494. 目標(biāo)和 - 力扣（LeetCode）
題目解析
狀態(tài)表示
01背包問題本質(zhì)是從一些物品中選物品，本質(zhì)上是有關(guān)組合的問題，而本題目也是在一些數(shù)中挑選出一些數(shù)，因為我們可以以01背包為模版，定義狀態(tài)表示。
01背包問題的狀態(tài)表示為，
定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積不超過j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
定義dp[i][j]表示從前i個物品中挑選，總體積為j，所有選法中，所能達(dá)到的最大價值。
因此我們可以定義dp[i][j]表示從nums[0,i]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程
狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的推導(dǎo)是以最后一個位置的狀況進(jìn)行分類討論。
dp[i][j]表示從nums[0,i]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。
-
如果挑選i位置的元素，
-
如果j-nums[i]<0, 此時表示i位置元素比j還要大，此時dp[i][j]=0;
-
如果j-nums[i] =0, 此時表示挑選i位置元素后，數(shù)字和就為j了，此時還需要考慮數(shù)字和為0的挑選種類次數(shù)，所以此時dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i-1]]；
-
如果j-nums[i]>0, dp[i-1][j-nums[i]]表示從nums[0,i-1]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j-nums[i]，一共有多少種選法。這些選法的每一種選法中，都加上i位置的元素，選法數(shù)不變，但是這些選法使得數(shù)字和都為j。 此時dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]];
-
-
如果不挑選i位置的元素， 此時dp[i][j]=dp[i-1][j];
將上述情況進(jìn)行合并和簡化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= nums[i])
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i]];
初始化
根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們知道，在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-nums[i]）位置的狀態(tài)，而只有j>nums[i]的時候才會用到（i-1，j-nums[i]）位置的狀態(tài)，所以我們只需要考慮（i-1，j）。
所以我們需要初始化第一行位置的狀態(tài)，在推導(dǎo)藍(lán)色部分位置狀態(tài)的時候沒有前驅(qū)，所以需要初始化這些位置的狀態(tài)值。
我們可以添加虛擬節(jié)點(diǎn)，即多添加一行和一列，使這些虛擬節(jié)點(diǎn)成為藍(lán)色位置的前驅(qū)，這樣就不用初始化藍(lán)色位置的值，而變?yōu)槌跏蓟摂M節(jié)點(diǎn)即可。
這樣做的好處是，虛擬結(jié)點(diǎn)的初始化可能比藍(lán)色部分位置狀態(tài)的初始化要簡便許多。
添加虛擬結(jié)點(diǎn)后，狀態(tài)表示和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程會發(fā)生改變，即，
dp[i][j]表示從nums[0,i-1]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= nums[i - 1])
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];添加虛擬節(jié)點(diǎn)后，有兩點(diǎn)注意事項，
-
初始化虛擬節(jié)點(diǎn)，必須保證推導(dǎo)后續(xù)位置的狀態(tài)的正確性。
-
下標(biāo)的映射關(guān)系。
初始化虛擬節(jié)點(diǎn)：
我們根據(jù)狀態(tài)表示，dp[i][j]表示從nums[0,i-1]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。我們同時可以根據(jù)狀態(tài)表示賦予第一行意義，表示不選元素時的情況。
接下來初始化綠色位置的狀態(tài)。
此時表示不選擇元素，此時（0,0）位置dp[0][0]=1,其他位置為0。
下標(biāo)映射關(guān)系：
-
此時，dp[i][j]表示從nums[0,i-1]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。 dp中i對應(yīng)nums的i-1。
-
如果在nums前面添加一個占位符，就可以使得dp中i，j繼續(xù)映射nums1，nums2中i，j。
我們這里選擇第一種解決辦法。
得到初始化，
dp[0][0] = 1; 填表順序
根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，我們知道，在推導(dǎo)（i，j）位置的狀態(tài)時，需要用到（i-1，j）（i-1，j-nums[i])位置的狀態(tài)。使用（i-1，j-nums[i]）狀態(tài)時，j-nums[i]一定不會越界。所以只需要考慮（i-1，j）
-
固定i改變j， i的變化，需要從小到大，j的變化可以從小到大也可以從大到小。
-
固定j改變i， j的變化可以從小到大也可以從大到小，i的變化需要從小到大。
返回值
dp[i][j]表示從nums[0,i-1]區(qū)間中挑選元素，使總數(shù)字和為j，一共有多少種選法。
結(jié)合題目意思，我們需要在nums[0,n-1]區(qū)間挑選元素，使總數(shù)字和為所有元素數(shù)字和的一半。
所以我們可以用aim表示所有元素數(shù)字和的一半，
因此需要返回dp[n][aim]；
代碼實(shí)現(xiàn)
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = 0;
for (auto x : nums)
sum += x;
int aim = (sum + target) / 2;
if (aim < 0 || (sum + target) % 2)
return 0;
int n = nums.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(aim + 1)); // 建表
dp[0][0] = 1; // 初始化
for (int i = 1; i <= n; i++) // 填表
for (int j = 0; j <= aim; j++) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= nums[i - 1])
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
// 返回結(jié)果
return dp[n][aim];
}
};結(jié)尾
今天我們學(xué)習(xí)了動態(tài)規(guī)劃的思想，動態(tài)規(guī)劃思想和數(shù)學(xué)歸納法思想有一些類似，動態(tài)規(guī)劃在模擬數(shù)學(xué)歸納法的過程，已知一個最簡單的基礎(chǔ)解，通過得到前項與后項的推導(dǎo)關(guān)系，由這個最簡單的基礎(chǔ)解，我們可以一步一步推導(dǎo)出我們希望得到的那個解，把我們得到的解依次存放在dp數(shù)組中，dp數(shù)組中對應(yīng)的狀態(tài)，就像是數(shù)列里面的每一項。最后感謝您閱讀我的文章，對于動態(tài)規(guī)劃系列，我會一直更新，如果您覺得內(nèi)容有幫助，可以點(diǎn)贊加關(guān)注，以快速閱讀最新文章。
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