目錄

一、機(jī)器人選型

二、機(jī)器人DH參數(shù)和正運(yùn)動(dòng)學(xué)

（一）、DH參數(shù)

?（二）、正運(yùn)動(dòng)學(xué)

三、工作空間繪制

四、構(gòu)型分析

五、附錄

一、機(jī)器人選型

????????UR協(xié)作機(jī)器人系列是優(yōu)傲公司的代表產(chǎn)品，也是目前比較通用的產(chǎn)品級(jí)機(jī)械臂。選取UR系列的UR5協(xié)作機(jī)器人，產(chǎn)品參數(shù)如下：

二、機(jī)器人DH參數(shù)和正運(yùn)動(dòng)學(xué)

（一）、DH參數(shù)

????????機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)是把機(jī)械臂的關(guān)節(jié)變量作為自變量，描述機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)與機(jī)械臂基座之間的函數(shù)關(guān)系。

????????將各關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為圓柱體，將如下?tīng)顟B(tài)視為初始狀態(tài)，用標(biāo)準(zhǔn)DH法建立坐標(biāo)如下：

????????坐標(biāo)系1，2，3，4，5，6是各個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)，其中坐標(biāo)系2，3，4，5，6由于Zn-1和Zn?共面而導(dǎo)致坐標(biāo)系偏離實(shí)際關(guān)節(jié)中心（坐標(biāo)系應(yīng)建立在Zn-1 和Zn 的交點(diǎn)處），坐標(biāo)系7是機(jī)械臂末端點(diǎn)的位姿。

????????得到下列DH參數(shù)表：

?????????其中，由機(jī)械臂參數(shù)可得：

?保留?t?heta????變量，將常量代入DH參數(shù)表，即：

?（二）、正運(yùn)動(dòng)學(xué)

????????下面根據(jù)DH表推導(dǎo)UR5機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)。

????????標(biāo)準(zhǔn)DH法坐標(biāo)系n到n+1的變換矩陣如下：

????????觀察DH參數(shù)表，可以知道α 均為0或±90°，故cos?????α 、sinα 均為0或±1，這里先將其帶入其次變換矩陣，這一步是為了方便后續(xù)編程進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算。?

???則有：

?????????利用matlab在畫(huà)布上畫(huà)出機(jī)器人驗(yàn)證DH法推導(dǎo)過(guò)程是否正確，繪制出的機(jī)器人構(gòu)型和模擬運(yùn)動(dòng)符合預(yù)期（完整視頻可見(jiàn)附錄）：

三、工作空間繪制

????????將正運(yùn)動(dòng)學(xué)得到的齊次變換矩陣輸入matlab代碼文件中，利用matlab符號(hào)運(yùn)算得出夾具末端位置坐標(biāo)點(diǎn)的計(jì)算公式：

????????為了減少函數(shù)調(diào)用的時(shí)間，可以先將所有點(diǎn)的位置計(jì)算出來(lái)，這樣只需調(diào)用一次繪圖函數(shù)即可繪制所有的點(diǎn)。這樣的做節(jié)省的是調(diào)用繪圖函數(shù)的時(shí)間。即使先計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，算法的時(shí)間復(fù)雜度仍然沒(méi)有下降。

????????實(shí)際上，在Matlab或Pyhton等語(yǔ)言中，調(diào)用庫(kù)函數(shù)或者自帶的矩陣運(yùn)算操作會(huì)比自己寫(xiě)for循環(huán)快得多，因?yàn)閹?kù)函數(shù)和矩陣變換一般會(huì)有更底層語(yǔ)言的代碼支持。

????????利用上述思想，我的做法是使用ndgrid函數(shù)建立網(wǎng)格坐標(biāo)，省去for循環(huán)優(yōu)化處理的速度。再使用plot3或scatter3函數(shù)進(jìn)行工作空間繪制。ndgrid是一個(gè)網(wǎng)格坐標(biāo)生成函數(shù)，和python的meshgrid異曲同工。對(duì)于傳入的多個(gè)向量，函數(shù)返回由這些向量中的點(diǎn)所構(gòu)成給的網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)。如調(diào)用如下語(yǔ)句：

[x1,x2]=ndgrid([1,2,3],[4,5,6])

????????則函數(shù)會(huì)返回:

????????當(dāng)我們把x1和x2中每個(gè)位置的數(shù)匹配起來(lái)看：

????????會(huì)得到:

?????????我們將Ans展開(kāi)即可得到：分別從數(shù)列1，2，3和數(shù)列4，5，6中各取一個(gè)數(shù)的所有可能情況。故我們可以將六個(gè)角度的范圍傳入ndgrid來(lái)得到所有角度的組合，來(lái)得到角度所有可能的組合。再利用對(duì)矩陣取cos、sin以及加減等操作，得到最終包含所有點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)的向量。

? ? ? ? 使用此方式繪制得到的工作空間如下：

????????上述的優(yōu)化始終改變不了算法的時(shí)間復(fù)雜度，一切的投機(jī)取巧終究還是班門(mén)弄斧，改變不了算法復(fù)雜本質(zhì)。想要加快繪制的速度，除非換個(gè)算法，這里有一個(gè)更快而且能更好的擬合工作空間的算法：蒙特卡洛法。?

?????????當(dāng)我們隨機(jī)地取一定數(shù)量的θ?，當(dāng)取的數(shù)量“足夠多”時(shí)，就可以很好得描述工作空間的形狀。顯然這里的“足夠多”可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于十的九次方? 。相比之前的方法，本方法得到的點(diǎn)云雖然稀疏，但很均勻。更能描述工作空間的形狀。而且算法實(shí)現(xiàn)也很簡(jiǎn)單。當(dāng)取1000個(gè)點(diǎn)時(shí)，效果如下：

????????查閱官方的數(shù)據(jù)手冊(cè)：UR5機(jī)器人的工作空間是指機(jī)座關(guān)節(jié)周?chē)欢臻g內(nèi)的球形區(qū)域除去機(jī)械臂上方的圓柱形區(qū)域。

?????????觀察上述圖像，可以推斷，如果?θ?很小時(shí)，得出的工作空間確實(shí)是一個(gè)球。這里還有一個(gè)問(wèn)題，除去的圓柱形區(qū)域在我們所繪制的空間中沒(méi)有體現(xiàn)，這一點(diǎn)將在關(guān)節(jié)構(gòu)型處分析。

? ? ? ? 上述算法的流程圖如下：

????????蒙特卡洛法雖然又快又準(zhǔn)，但形態(tài)上卻看不出變化的過(guò)程。暴力枚舉法雖然難以達(dá)到理想的結(jié)果，但每一次的蛻變都會(huì)帶來(lái)形態(tài)上變化。好比生活并不只看結(jié)果，享受過(guò)程又何嘗不是一種快樂(lè)。

四、構(gòu)型分析

?????????對(duì)于UR5機(jī)器人，先只考慮機(jī)器人的第六個(gè)關(guān)節(jié)：

?????????由于最后一個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)，它的軌跡是一個(gè)點(diǎn)。

????????接著考慮第五、第六兩個(gè)關(guān)節(jié)：

????????上一步中的點(diǎn)繞一個(gè)軸純旋轉(zhuǎn)，最后得到的是軌跡是一個(gè)圓形的軌跡線(xiàn)。

????????設(shè)如圖所示P點(diǎn)的坐標(biāo)為初始坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的半徑為r1,則軌跡為：

????????再考慮倒數(shù)第三個(gè)關(guān)節(jié)：

????????即一個(gè)圓形線(xiàn)繞著一根平行于該線(xiàn)所在平面的線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，主視圖如上，最終的軌跡應(yīng)該是一個(gè)帶孔的圓柱：?

? ? ? ? ?其中：

????????最終得到軌跡如下：

?????????考慮倒數(shù)第四個(gè)關(guān)節(jié)：

?????????將帶孔圓柱繞著一條平行于帶孔圓柱軸線(xiàn)的直線(xiàn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，這里有兩種可能：

（1）

（2）

? ? ? ? ?情況（1）關(guān)節(jié)在帶孔圓柱內(nèi)部，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果是一個(gè)不帶孔的圓柱;

? ? ? ? ?情況（2）關(guān)節(jié)在帶孔圓柱外部，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果仍然是一個(gè)帶孔的圓柱

? ? ? ? ?對(duì)于UR5來(lái)說(shuō)這里屬于第二種情況：

? ? ? ? ?有：

????????得到的仍然是帶孔圓柱。

????????再考慮倒數(shù)第五個(gè)關(guān)節(jié)，此種情況同上種情況類(lèi)似，但此時(shí)屬于情況（1），故得到是一個(gè)完整的圓柱：

? ? ? ? ?有：

? ? ? ? 再考慮最后一個(gè)關(guān)節(jié)，俯視圖：

????????圖中的矩形代表上一環(huán)節(jié)圓柱的側(cè)視圖，這種情況下的俯視圖是一個(gè)矩形繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最后得到的結(jié)果應(yīng)該是一個(gè)帶圓柱形通孔的球狀區(qū)域，注意這里并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球形區(qū)域，因?yàn)楦┮晥D和主視圖的半徑并不一樣：

????????（1）對(duì)于俯視圖：

?????????其中，圓柱形通孔的半徑為：

?????????外圓形的半徑為：

????????（2）對(duì)于主視圖?：

?????????代入?yún)?shù)計(jì)算可得：

????????觀察上述式子可以看到：

????????由于主視圖橫豎近似相等，故可將主視圖看成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓形。

????????由于俯視圖內(nèi)外半徑差距極大，故可將俯視圖看出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的圓形。

????????我認(rèn)為這也是使用Matlab繪制出來(lái)的工作空間看不出空心圓柱的原因。

五、附錄

到了這里，關(guān)于GDUT自動(dòng)化創(chuàng)卓機(jī)器人學(xué)課程大作業(yè)：機(jī)械臂工作空間繪制的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！