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最優(yōu)控制介紹
一級倒立擺控制 —— 系統(tǒng)建模（傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間方程表示）
一級倒立擺控制 —— 最優(yōu)控制 線性二次型控制（LQR）及 MATLAB 實現(xiàn)
一級倒立擺控制 —— MPC 控制器設計及 MATLAB 實現(xiàn)
一級倒立擺控制 —— ROS2 仿真
一級倒立擺控制 —— LQR 控制器 GAZEBO 仿真

前言

在本頁中，我們將為倒立擺系統(tǒng)設計一個 PID 控制器。在設計過程中，我們將假設一個單輸入、單輸出設備，其傳遞函數(shù)如下。除此以外，我們將嘗試在不考慮小車位置的情況下控制擺的角度。

擺桿傳遞函數(shù)方程：
$$P_{pend}(s)=\frac{\Phi (s)}{U(s)}=\frac{\frac{ml}{q}{s}^2}{s^4+\frac{b(I+m{l}^2)}{q}{s}^3?\frac{(M+m)mgl}{q}{s}^2?\frac{bmgl}{q}s}$$
式中，$q=[(M+m)(I+m{l}^2)?(ml{)}^2]$

更具體地說，當小車受到 1-Nsec 的沖力時，控制器將試圖保持擺錘垂直向上。在這些條件下，設計標準是：

1. 穩(wěn)定時間小于 5 秒
2. 擺錘偏離垂直方向的幅度不應超過 0.05 弧度

有關原始問題設置和上述傳遞函數(shù)的推導，請查閱倒立擺： 系統(tǒng)建模頁面。

一、系統(tǒng)結構

這個問題的控制器結構與您可能習慣的標準控制問題有些不同。由于我們試圖控制擺的位置，而擺的位置在受到初始擾動后應返回垂直方向，因此我們跟蹤的參考信號應為零。這種情況通常被稱為調(diào)節(jié)器問題。施加在小車上的外力可視為脈沖干擾。該問題的示意圖如下。

如果我們先將原理圖重新排列如下，您可能會發(fā)現(xiàn)分析和設計該系統(tǒng)更加容易。

因此，閉環(huán)系統(tǒng)從力 $F$ 輸入到擺角 $?$ 輸出的傳遞函數(shù) $T(s)$ 確定如下。

$$\begin{array}{c}T(s)=\frac{\Phi (s)}{U(s)}=\frac{P_{pend}(s)}{1+C(s)P_{pend}(s)}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

在開始設計 PID 控制器之前，我們首先需要在 MATLAB 中定義倒立擺傳遞函數(shù)模型。創(chuàng)建一個新的 .m 文件并鍵入以下命令來創(chuàng)建傳遞函數(shù)模型（有關獲取這些命令的詳細信息，請參閱主問題）。

M = 0.5;
m = 0.2;
b = 0.1;
I = 0.006;
g = 9.8;
l = 0.3;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;
s = tf('s');
P_pend = (m*l*s/q)/(s^3 + (b*(I + m*l^2))*s^2/q - ((M + m)*m*g*l)*s/q - b*m*g*l/q);

接下來，我們將定義一個 PID 控制器。

二、PID 控制

在 MATLAB 中可以通過將以下代碼復制到 .m 文件末尾來模擬閉環(huán)傳遞函數(shù)（無論您使用的是傳遞函數(shù)形式還是模型的狀態(tài)空間表示形式）。具體來說，我們使用 MATLAB 中的 pid 對象定義控制器。然后，我們使用反饋命令生成閉環(huán)傳遞函數(shù) $T(s)$，如上圖所示，其中干擾力 $F$ 為輸入，擺錘角度與垂直方向的偏差 $?$ 為輸出。

t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 1, Ki = 1, Kd = 1'});

這個響應仍然不穩(wěn)定。讓我們開始通過增加比例增益來修改響應。增加 $K_p$ 變量，看看它對響應有什么影響。如果將 .m 文件修改為 $K_p$ = 100，并在命令窗口中運行，將得到下圖所示的響應圖。

Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 1;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 1'});

在繪制的曲線圖上單擊右鍵，從菜單中選擇 “特征”，即可確定響應的重要特征。具體來說，響應的穩(wěn)定時間被確定為 1.64 秒，小于 5 秒的要求。由于穩(wěn)態(tài)誤差以足夠快的速度趨近于零，因此不需要額外的積分動作。您可以將積分增益常數(shù) $K_i$ 設為零，以親自驗證是否需要進行積分控制。不過，峰值響應大于 0.05 弧度的要求?；叵胍幌拢ǔ？梢酝ㄟ^增加導數(shù)控制量來減少過沖。經(jīng)過反復試驗，我們發(fā)現(xiàn)導數(shù)增益 $K_d$ = 20 可以提供令人滿意的響應。對 m 文件作如下修改并重新運行后，將得到下圖所示的響應圖

Kp = 100;
Ki = 1;
Kd = 20;
C = pid(Kp,Ki,Kd);
T = feedback(P_pend,C);
t=0:0.01:10;
impulse(T,t)
axis([0, 2.5, -0.2, 0.2]);
title({'Response of Pendulum Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

可以看到，過沖已經(jīng)減小，擺錘偏離垂直方向的幅度不會超過 0.05 弧度。由于所有給定的設計要求都已滿足，因此不需要進一步迭代。

三、小車的位置會發(fā)生什么變化？

本頁開頭給出了倒立擺系統(tǒng)的方框圖。該圖并不完整。代表小車位置 $x$ 響應的圖塊沒有包括在內(nèi)，因為該變量沒有被控制。但有趣的是，當擺錘角度 $?$ 的控制器就位時，小車的位置會發(fā)生什么變化。要了解這一點，我們需要考慮整個系統(tǒng)框圖，如下圖所示。

重新排列后，我們得到以下框圖。

在上圖中，塊$C(s)$ 是為保持擺錘垂直而設計的控制器。因此，從施加到小車的輸入力到小車位置輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù) $T_2(s)$ 如下所示。

$$\begin{array}{c}T(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{P_{cart}(s)}{1+C(s)P_{pend}(s)}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

請參考倒立擺： 系統(tǒng)建模頁面，$P_{cart}(s)$ 的傳遞函數(shù)定義如下。

$$\begin{array}{c}{P}_{cart}(s)=\frac{\Phi (s)}{U(s)}=\frac{\frac{(I+m{l}^2)s^2?mgl}{q}}{s^4+\frac{b(I+m{l}^2)}{q}{s}^3?\frac{(M+m)mgl}{q}{s}^2?\frac{bmgl}{q}s}\end{array}\text{\hspace{1em}?}$$

式中，$q=[(M+m)(I+m{l}^2)?(ml{)}^2]$

在您的 m 文件中添加以下命令（假設 $P_{pend}(s)$ 和 $C(s)$ 仍已定義），將生成小車位置對我們一直在考慮的相同脈沖干擾的響應。

P_cart = (((I+m*l^2)/q)*s^2 - (m*g*l/q))/(s^4 + (b*(I + m*l^2))*s^3/q - ((M + m)*m*g*l)*s^2/q - b*m*g*l*s/q);
T2 = feedback(1,P_pend*C)*P_cart;
t = 0:0.01:5;
impulse(T2, t);
title({'Response of Cart Position to an Impulse Disturbance';'under PID Control: Kp = 100, Ki = 1, Kd = 20'});

可以看到，小車以近似恒定的速度向負方向移動。因此，盡管 PID 控制器能穩(wěn)定擺錘的角度，但在實際物理系統(tǒng)中實施這種設計并不可行。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-773359.html

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