多平面包絡(luò)的圓柱體參數(shù)估計

場景

現(xiàn)有多個空間平面包絡(luò)一個柱體，從圓柱頂端俯視如圖所示：

中心位置為圓柱實際所在位置。現(xiàn)在已知這些平面的參數(shù)（每個平面的方程均為ax+by+cz+d=0形式, 參數(shù)為a,b,c,d），希望求解它們包絡(luò)的這個圓柱的幾何信息。

分析

三維空間中，圓柱的幾何信息有兩類表達(dá)方式：

1. 圓柱中軸的方向向量$(u,v,1)$和中軸上一點(diǎn)坐標(biāo)$(x,y,z)$，以及半徑r。
2. 圓柱頂面中心點(diǎn)坐標(biāo)$(x_1,y_1,z_1)$，底面中心點(diǎn)坐標(biāo)$(x_2,y_2,z_2)$，以及半徑r。
   前一種表達(dá)方式具有最少的參數(shù)量，描述了一個無限高度的空間圓柱體；后一種表達(dá)方式多了一個參數(shù)，本質(zhì)上限定了圓柱頂面和底面的位置。

已知的幾何約束包括：

1. 中軸垂直于所有平面的法向量。
2. 中軸必定被所有平面包圍在內(nèi)部。
3. 中軸上任意一點(diǎn)到各平面的距離相等且非0，這個距離就是半徑r。

求解方案

多平面包絡(luò)圓柱體只能是在局部范圍內(nèi)包絡(luò)。受計算機(jī)數(shù)值精度影響，很難使所有平面完美相切同一圓柱體，因而很可能出現(xiàn)在不同的Z坐標(biāo)處所包絡(luò)的圓柱體半徑不同的情況。此外，如果沒有Z坐標(biāo)，我們只能得到空間直線的方程，實際上沒有太大用處，不易基于它來求半徑。因此一個關(guān)鍵要素就是：先驗的Z值。

根據(jù)應(yīng)用場景，我們假定有先驗估算的z坐標(biāo)最小值和最大值。
由于沒有任何一個平面過中軸，而是僅僅與圓柱體表面相切，中軸上點(diǎn)的位置無法直接求解?？梢钥紤]先求解中軸的方向，再求中軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)和半徑。

求解方法一：

1. 由于已知所有平面的參數(shù)a、b、c、d，可以直接求出中軸方向：當(dāng)僅有兩個不相交平面時，即可用它們法向量的叉積直接得到中軸方向；平面數(shù)量更多時，需要使用最小二乘法求解最佳的中軸方向。
2. 先取出圓柱體中軸上一點(diǎn)的z坐標(biāo)近似值$z_0$。
3. 將該$z_0$代入所有平面方程，求解中軸上z坐標(biāo)為$z_0$的一點(diǎn)的x,y坐標(biāo)近似值。由于中軸在多平面包絡(luò)的內(nèi)部，因此只需將平面兩兩相交的交點(diǎn)重心作為x,y坐標(biāo)近似值$(x^{\prime },y^{\prime })$。
4. x,y坐標(biāo)精化和半徑r求解。這一步利用約束3，列出約束條件方程：
   $$|\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}?r|=0$$
   其中$(x_0,y_0,z_0)$是待求的中軸點(diǎn)坐標(biāo)（$z_0$已知）。由于帶有絕對值符號，求解存在一定困難，可以考慮使用下面的形式：
   $$\frac{(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d{)}^2}{a^2+b^2+c^2}?r^2=0$$
   求解的初始值使用近似值$(x^{\prime },y^{\prime })$，半徑取正實數(shù)即可。
5. 當(dāng)近似值$(x^{\prime },y^{\prime })$偏差不太大時，即可得到較好的解：中軸上一點(diǎn)$(x_0,y_0,z_0)$，中軸方向和半徑$r$。

注意到，中軸方向的求解和半徑、中軸點(diǎn)求解是分離的。由此產(chǎn)生解法二：

1. 取到圓柱體的z坐標(biāo)范圍$z_{min},z_{max}$。
2. 將$z_{min}$代入所有平面方程，求解中軸上z坐標(biāo)為$z_{min}$的一點(diǎn)的x,y坐標(biāo)近似值。
3. 將$z_{max}$代入所有平面方程，求解中軸上z坐標(biāo)為$z_{max}$的一點(diǎn)的x,y坐標(biāo)近似值。
4. $z_{min},z_{max}$對應(yīng)的x,y坐標(biāo)精化和半徑r求解。求解的初始值使用上一步得到的近似值，半徑取正實數(shù)即可。為使求解更嚴(yán)謹(jǐn)，可以將兩組方程列在一起求解唯一的r。
5. 當(dāng)近似值與真實值偏差不太大時，可得到較好的解：中軸兩點(diǎn)$(x_{min},y_{min},z_{min})$、$(x_{max},y_{max},z_{max})$和半徑$r$。

求解效果

初始中軸點(diǎn)求解效果：

可見，初始點(diǎn)位在平面包絡(luò)的內(nèi)部空間，可以進(jìn)行下一步精化、半徑求解。

最終的可視化結(jié)果如圖：
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-770859.html

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