何為跟蹤微分器（TD）

跟蹤微分器顧名思義，包含了跟蹤和微分兩個部分。

• 跟蹤 t
  就是一個對輸入信號以某種手段延遲輸出的環(huán)節(jié) 。

在做一些控制時，通常不希望輸入信號出現(xiàn)階躍的情況，這會在系統(tǒng)中產生一定擾動，因此通常會用一種 " 斜坡算法 "使輸入信號變得更平緩。這在變化的輸入信號中體現(xiàn)出平滑滯后的效果，看起來像是經(jīng)過這一 “斜坡算法” 的輸出信號在跟蹤輸入信號。

• 微分 d
  微分是指跟蹤信號微分后的信號，代表著跟蹤信號的變化率。

微分可以理解成變化速度，當我們想要快速精準到達目標信號時，既要保證快速，也要保證精準。而這兩者通常是相悖的，快速往往伴隨著超調（剎不住車）。因此如果能把握好速度的快慢，在離得遠時加速，在快要到達時減速，就可以避免剎不住車的情況。

線性跟蹤微分器（LTD）數(shù)學描述

• 建立線性狀態(tài)方程，其中狀態(tài)變量為 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}t\\ d\end{array}\right]$，輸入信號為$u$，其狀態(tài)方程為
  $$\begin{gathered} x^{\prime }=Ax+Bu \\ y=x \end{gathered}$$
  在自動控制理論中，常見的LTD是臨界阻尼的二階慣性環(huán)節(jié)， 其傳遞函數(shù)表示為
  $$\frac{Y(s)}{U(s)}=G(s)=\frac{r^2}{s^2+2rs+r^2}$$
  其中$r$是自然頻率；
  將輸入信號$u$和輸出信號$t$代進慣性環(huán)節(jié)，可以得到：
  $$t^{\prime \prime }+2r{t}^{\prime }+r^{2}t=r^{2}u$$
  又$t^{\prime }=d,t^{\prime \prime }=d^{\prime }$，代入上式可以得到：
  $$\begin{gathered} d^{\prime }+2rd+r^2(t?u)=0 \\ \to d^{\prime }=?2rd?r^2(t?u) \\ \to d^{\prime }=?r^{2}t?2rd+r^{2}u \end{gathered}$$
  又$d^{\prime }=x_2^{\prime },d=x_2$，代入到狀態(tài)方程中，可以得到矩陣$A,B$為：
  $$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?r^2& ?2r\end{array}\right] \\ B=\left[\begin{array}{c}0\\ r^2\end{array}\right] \end{gathered}$$
  整理后，得到
  $$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ d^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ ?r^2& ?2r\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}t\\ d\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ r^2\end{array}\right]u \\ \left[\begin{array}{c}y1\\ y2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}t\\ d\end{array}\right] \end{gathered}$$
  到這里大多數(shù)文章就沒有后續(xù)的描述了，但其實我在學習到這部分的時候就有一個疑問，這個參數(shù)$r$的數(shù)學意義是什么，該怎么選取這個參數(shù)的數(shù)值呢，它又是如何影響著LTD的性能。后面的這部分內容是對參數(shù)r的討論，感興趣的可以往下看，反之則可以直接跳過。

通過微分方程$t^{\prime \prime }+2r{t}^{\prime }+r^{2}t=r^{2}u$的形式，以單位階躍響應為例，$u=1(t)$，觀察$t$隨時間變化的過程，觀察其達到1時的時間以及參數(shù)$r$在這個過程發(fā)揮的作用。
由于$t$是關于時間的信號，為了避免誤解，令 $t=h(t)$，前者的t是信號，后者的t是時間。則將上述微分方程整理后得到：
$$h^{\prime \prime }+2r{h}^{\prime }+r^{2}h=r^2$$
開始求解微分方程 （悄悄拿出高數(shù)課本）
這里不贅述，直接給結論。
$$h(t)=(C_1+C_{2}t)e^{?rt}+1$$
其中$C_1，C_2$跟0時刻狀態(tài)有關，不進行討論。
我們只需要關注當$h(t)=1$是$t$的值，用于衡量跟蹤性能。
$$\begin{gathered} h(t)=(C_1+C_{2}t)e^{?rt}+1 \\ \to (C_1+C_{2}t)e^{?rt}=0 \end{gathered}$$
顯然，$r$是衰減因子，$r$越大，$h(t)$收斂的越快。

非線性跟蹤微分器（NTD）數(shù)學描述

• 對比LTD，NTD采用的不是線性二階慣性環(huán)節(jié)，而是特殊的非線性函數(shù)（最速控制綜合函數(shù)），以實現(xiàn)跟蹤的目的。
  連續(xù)系統(tǒng)的最速控制綜合函數(shù)的數(shù)學描述為
  $$f_{han}=?rsign(x_1?u+\frac{x_2|x_2|}{2r})$$
  其中$x_1$為跟蹤信號，$u$為輸入信號，$x_2$為微分信號，$r$為加速度的絕對值，則NTD的非線性狀態(tài)方程為：
  $$\begin{gathered} x_1^{\prime }=x_2 \\ {x}_2^{\prime }=f_{han}=?rsign(x_1?u+\frac{x_2|x_2|}{2r}) \end{gathered}$$

這個最速控制綜合函數(shù)$f_{han}$是基于物理公式得到的，假設當前速度為 $v_1$，以固定的加速度$a$運動，位移了$x$后速度為$v_2$，則滿足公式：
$$\frac{v_1^2?v_2^2}{2a}=x$$
所以$sign$中的第二項$\frac{x2|x_2|}{2r}$是減速到0的位移，第一項$x_1?u$是到達目標位置的位移。
通過比較這兩個位移項的和，來決定當前是否加減速。
在simulink實現(xiàn)NTD，再觀察狀態(tài)變量的變化過程。

matlab function模塊中的代碼如下：

function y = fcn(x1,x2,r)
    y = -r*sign(x1+x2*abs(x2)/(2*r));

示波器結果為：

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-767370.html

到了這里，關于【自抗擾控制ADRC】跟蹤微分器的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！