在我們的編程之旅中，C語言為我們打下了堅實的基礎(chǔ)。然而，如今我們踏入了新的領(lǐng)域——數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法

c語言系列文章大家可以瀏覽我的專欄：c語言學(xué)習(xí)

**那么現(xiàn)在就以算法的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度開始，逐步探索這個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的精彩之處 **

一.算法效率

1.1 如何衡量一個算法的好壞

通常我們都會認為越簡短算法越好 ,但是我們在用遞歸實現(xiàn)求斐波那契數(shù)列的時候，代碼確實簡短，但是效率卻不高

int fib(int n)
{
	if (n <= 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return fib(n - 1) + fib(n - 2);
	}

}

讓求個第50個耗費的時間就已經(jīng)不短了，所以我們需要一個統(tǒng)一的標準來衡量代碼的好壞——算法的復(fù)雜度

1.2 算法的復(fù)雜度

算法在編寫成可執(zhí)行程序后，運行時需要耗費時間資源和空間(內(nèi)存)資源 。因此衡量一個算法的好壞，一般

是從時間和空間兩個維度來衡量的，即我們所說的時間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度

• 時間復(fù)雜度：時間復(fù)雜度描述了算法解決問題所需的時間量級。它表示隨著輸入規(guī)模的增加，算法執(zhí)行所需時間的增長趨勢，時間復(fù)雜度主要衡量一個算法的運行快慢
• 空間復(fù)雜度：空間復(fù)雜度衡量了算法在執(zhí)行過程中所需的額外內(nèi)存空間。表示隨著輸入規(guī)模增加，算法所需內(nèi)存的增長趨勢。空間復(fù)雜度主要衡量一個算法運行所需要的額外空間

而如今計算機的存儲容量已經(jīng)達到了很高的程度。所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個算法的空間復(fù)雜度，更加著重于時間復(fù)雜度

二.時間復(fù)雜度

2.1基本概念

算法的時間復(fù)雜度是一個函數(shù)，它定量描述了該算法的運行時間。一個算法執(zhí)行所耗費的時間，從理論上說，是不能算出來的，只有你把你的程序放在機器上跑起來，才能知道。顯然這很麻煩，所以才有了時間復(fù)雜度這個分析方式。

一個算法所花費的時間與其中語句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時間復(fù)雜度

確定一個算法中某個基本操作與問題規(guī)模 N 之間的關(guān)系式，即可確定該算法的時間復(fù)雜度

eg:計算一下test1中++count語句總共執(zhí)行了多少次？

#include<stdio.h>
int test1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)
{
	for (int j = 0; j < N-1; ++j)
	{
		++count;
	}
}
for (int k = 0; k < N; ++k)
{
	++count;
}
int M = 20;
while (M--)
{
	++count;
}
}

int main()
{
test1();
return 0;
}

可以知道執(zhí)行的次數(shù)F（N）只與N有關(guān)：
$$F(N)=N?(N?1)+N+20$$

• N = 10 F(N) = 120
• N = 100 F(N) = 10020

實際中計算時間復(fù)雜度時，其實并不一定要計算很精確的執(zhí)行次數(shù)，只需要知道大概執(zhí)行次數(shù)，即使用大O的漸進表示法

2.2 大O的漸進表示法

大 O 漸進表示法（Big O notation）: 是一種用于描述算法復(fù)雜度的數(shù)學(xué)表示方法。它用于衡量算法在最壞情況下執(zhí)行時間的上限，即算法的增長率

規(guī)則：

1. 用常數(shù)1取代運行時間中的所有加法常數(shù)
2. 在修改后的運行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項
3. 如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階

上面的$$F(N)=N?(N?1)+N+20$$ 用大O表示法為：
$$O(N^2)$$

通過上面這個例子會發(fā)現(xiàn)大O的漸進表示法去掉了那些對結(jié)果影響不大的項，簡潔的表示出了執(zhí)行次數(shù)

有些算法的時間復(fù)雜度也分最好，平均，最壞的情況：

• 最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運行次數(shù)
• 平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運行次數(shù)
• 最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運行次數(shù)

eg：在一個長度為n的整形數(shù)組arr里找a這個值

最好情況第一次就找到了 平均情況n/2次找到 最壞情況n次找的

在實際中一般情況關(guān)注的是算法的最壞運行情況，所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時間復(fù)雜度為O(N)

2.3常見時間復(fù)雜度計算

void test2(int N,int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		count++;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		count++;
	}
}

基本操作執(zhí)行了M+N次,時間復(fù)雜度為O(N)

void test3()
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
}

基本操作執(zhí)行了100次（常數(shù)）,時間復(fù)雜度為O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

基本操作執(zhí)行最好N次，最壞執(zhí)行了(N*(N+1)/2次，通過推導(dǎo)大O階方法+時間復(fù)雜度看最

壞，時間復(fù)雜度為 $$O(N^2)$$

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);//相當于begin+（n/2）
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;//找到了返回下標
	}
	return -1;//沒找到返回-1
}

基本操作執(zhí)行最好1次，最壞O(${\log }_{2}N$)次，時間復(fù)雜度為 O(${\log }_{2}N$) (一般情況下寫成$lgN$)

三.空間復(fù)雜度

3.1基本概念

空間復(fù)雜度也是一個數(shù)學(xué)表達式，是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度 。

空間復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes的空間,算的是變量的個數(shù)。

空間復(fù)雜度計算規(guī)則基本跟實踐復(fù)雜度類似，也使用大O漸進表示法

3.2常見時間復(fù)雜度計算

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

使用了常數(shù)個額外空間，所以空間復(fù)雜度為 O(1)

long long Fac(size_t N)
{
 if(N == 0)
 return 1;
 
 return Fac(N-1)*N;
}

空間復(fù)雜度是 O(N)，其中 N 是輸入的參數(shù)。這是因為每次遞歸調(diào)用都會在內(nèi)存中創(chuàng)建一個新的函數(shù)調(diào)用幀

好啦，今天的內(nèi)容梳理就先到這里了，下一次應(yīng)該會是順序表了。感謝大家支持！?。??文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-761726.html

到了這里，關(guān)于打開數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)大門：深入理解時間與空間復(fù)雜度的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！