近世代數(shù)是抽象代數(shù)的一個(gè)分支,是計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能大數(shù)據(jù)的基礎(chǔ).?

本文內(nèi)容有點(diǎn)長(zhǎng),大家可以通過index來跳轉(zhuǎn)到想要看的章節(jié),第十章的總結(jié)在我的主頁里下載

1.代數(shù)系?

半群:滿足結(jié)合律的代數(shù)系

交換半群:滿足交換律的半群

群：判定方法有兩種

method1

1. 有單位元
2. 有逆元
3. 運(yùn)算滿足結(jié)合律

method2：

1. 運(yùn)算滿足結(jié)合律
2. 運(yùn)算滿足左右消去律

交換群(Abel群)：

定義:滿足交換律的群

應(yīng)用:? ? 后面講環(huán)的時(shí)候會(huì)用到Abel群,判定一個(gè)代數(shù)系(R,+,?)是環(huán):

1. ( R, +)為一個(gè) Abel群：
2. ( R, ?)為一個(gè)半群； ? a, b, c ∈ R( a ? b) ? c = a ? ( b ? c）
3. 乘法對(duì)加法滿足左、右分配律： ? a, b, c ∈ R

   ? ? ? ?a ? ( b + c) = ( a ? b) + ( a ? c)

   ? ? ? ?( b + c) ? a = ( b ? a) + ( c ? a)

   交換群可以衍生出很多好的性質(zhì)

2.群的簡(jiǎn)單性質(zhì)

群滿足消去律

練習(xí)1答案方法的解釋

?有限群的每個(gè)元素的階不超過該有限群的階。

?根據(jù)群的階判斷元素的階

練習(xí)6注釋:根據(jù)練習(xí)4 5得到：階大于2的元素成對(duì)出現(xiàn)則 |G| = 2n= 2k+l+1得到l是奇數(shù)?、

練習(xí)六也就是說偶數(shù)階群2n一定存在一個(gè)階為2的元素,也就是說一定存在n階商群(后面會(huì)提到)

證明：一/二/三/四/五階群是交換群

如何證明 五階一下的群都是交換群 (利用后面的拉格朗日的定理 干掉前四個(gè))

?如何證明六階群中 肯定存在一個(gè)三階子群

?3.子群 生成子群

子群

H是G的子群要滿足三個(gè)條件

1. H元素非空
2. H中對(duì)于G中的運(yùn)算封閉
3. H是G的子集

eg:找出3次對(duì)稱群的所有子群。

判斷子群的充要條件

同理在子環(huán)和子域中也有類似的證明

群G的任意多個(gè)子群的交還是G的子群

任一群不能是其兩個(gè)真子群的并

?1. 舉例說明兩個(gè)子群的并可以不是子群。

?群G的中心C是G的可交換子群。

中心:? 群G的元素a稱為G的中心元素，如果a與G的每個(gè)元素可交換，即?x ∈ G, ax = xa。G的所有中心元素構(gòu)成的集合C稱為G的中心。

?生成子群

?推論:有限生成子群仍然是循環(huán)群

證明(Q, )的每個(gè)有限生成子群都是循環(huán)群？ - 知乎 (zhihu.com)

4.變換群 同構(gòu)

同構(gòu):

? ? ??設(shè)(G1, ?)，(G2, ?)為兩個(gè)群。如果存在一個(gè)雙射? : G1 → G2，使得?a, b ∈ G， ?(a ? b) = ?(a) ? ?(b), 則稱群G1與G2同構(gòu)，記為G1????G2。?稱為從G1到G2的一個(gè)同構(gòu)。

同構(gòu)和同態(tài)區(qū)別和聯(lián)系:

1. 都滿足那個(gè)等式
2. 不同:同態(tài)不一定要求是雙射

變換群

定理:任何一個(gè)群都同構(gòu)于某個(gè)變換群。（Caley定理)

練習(xí):

1. 證明一個(gè)群是一個(gè)變換群
2. 證明是同構(gòu),關(guān)鍵是找到一個(gè)映射,先證明是一個(gè)映射,再證明是一個(gè)滿射,再證明符合同構(gòu)的等式。

?5.循環(huán)群

循環(huán)群的定義:

如果G是由其中的某個(gè)元素a生成的，即G = (a) = {· · · , a?2 , a?1 , e, a, a2 , · · · }

• 整數(shù)加法群(Z,+)為循環(huán)群,其生成元為1。
• 模n同余類加群Zn = {[0], [1], · · · , [n ? 1]}為一個(gè)階為n的有限循環(huán)群,其生成元為[1]。

循環(huán)群的階:

?循環(huán)群的同構(gòu):

1. 無窮循環(huán)群同構(gòu)于整數(shù)加群(Z, +)，即如果不計(jì)同構(gòu)，無窮循環(huán)群只有一個(gè)，就是整數(shù)加群；
2. 階為n的有限循環(huán)群同構(gòu)于模n同余類加群(Zn, +)，即如果不計(jì)同構(gòu),n階循環(huán)群只有一個(gè)，就是模n同余類加群。

?這個(gè)定理告訴我們可以以整數(shù)加群和模n同余的整數(shù)加群為為媒介,證明兩個(gè)子群同構(gòu)

example

循環(huán)群子群的階:

循環(huán)群的性質(zhì)

1. 循環(huán)群仍然是交換群 原因 循環(huán)群中的每一個(gè)元素都可以表示成a的多少次方，那么a^(i+j) = a^(j+i)顯然是一個(gè)交換群
2. 循環(huán)群的子群仍然是循環(huán)群

3. 循環(huán)群的子群仍然是該循環(huán)群的正規(guī)子群

最大公約數(shù)

• 設(shè)a, b ∈ Z，a和b不全為0，則?m, n ∈ Z使得(a, b) = ma + nb。
• 設(shè) a, b ∈ Z， b > 0， a = qb + r，0 ≤ r < b，則( a, b) = ( b, r)。

證明:參見講義 第二條證明較為麻煩↓? ? ↓? ? ?↓? ? ?↓

拉格朗日定理

指數(shù)的定義:

? ? ? ?設(shè)H為群G的一個(gè)子群，如果H的所有不同的左陪集的個(gè)數(shù)為有限數(shù)j則稱j為H在G中的指數(shù)，記為j = [G : H]，否則稱H在G中的指數(shù)為無窮大。

拉格朗日定理及推論:

推論*3:

• 有限群中每個(gè)元素的階都能整除該有限群的階。
• 如果群的階是素?cái)?shù),則該群是一個(gè)循環(huán)群。
• 設(shè) G為一個(gè)群，則 ? a ∈ G， a^ | G | = e。

推論*2:

• 設(shè) H為群 G的一個(gè)子群， S l為 H的所有左陪集構(gòu)成的集合， S r為 H的所有右陪集構(gòu)成的集合，則 | S l | = | S r |。

設(shè) p為素?cái)?shù)，整數(shù) a與 p互素，則 a ^? p ?1 ≡ 1 (mod p)。

?備注:

• 【a】p-1 = [1]是因?yàn)橥普? 這個(gè)是要證明一個(gè)運(yùn)算在一個(gè)群里
• 思考是否可以用群的另外一種判斷方法來證明:證明結(jié)合律和左右消去律。

正規(guī)子群 商群

有了陪集和群子集乘法的概念,我們引入正規(guī)子群和商群。

簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)

群運(yùn)算:

其中對(duì)于定理三我們比較難理解?

判斷兩個(gè)子群的乘積是否也是子群

?正規(guī)子群

引入:

在上一節(jié)中我們學(xué)習(xí)了子群的乘法,但和映射類似,子群的乘法不一定滿足交換律,例如

正規(guī)子群定義:

正規(guī)子群等價(jià)命題:

?證明： 3-4相對(duì)麻煩

?商群

引入(可以不用看)

就是證明代數(shù)系統(tǒng)是一個(gè)群

定義和形式化舉例?

? ? ? 定義:群G的正規(guī)子群H的所有左陪集構(gòu)成的集族,對(duì)群子集乘法構(gòu)成的群稱為G對(duì)H的商群,記為G/H。

• 商群其實(shí)就是上面提到拉格朗日對(duì)于G的劃分
• 商群是對(duì)集族進(jìn)行運(yùn)算而不是集合
• 每個(gè)商群劃分的元素都是互不相交的

? ? ? 形式化舉例

?練習(xí):

沒啥多說的直接看吧

同態(tài)的基本定理?

引入同態(tài)是為了消弱同構(gòu)的條件 同態(tài)和同構(gòu)差別就在于是否一定是雙射

• 同態(tài)不一定是雙射
• 單射叫單同態(tài)，滿射叫滿同態(tài)注意符號(hào)怎么寫

同態(tài)定義

性質(zhì)

兩個(gè)定理

?同態(tài)的替身和原同態(tài)關(guān)系

?證明方法見筆記?

同態(tài)的核

定義

同態(tài)像就是像集中能夠被映射到的元素組成的集合。而同態(tài)核就是定義域集合中所有像為幺元的元素組成的集合。同態(tài)的核是衡量同態(tài)單射的程度。

抽象代數(shù)學(xué)習(xí)筆記（四） - 知乎 (zhihu.com)

特殊的同態(tài)核

這里需要注意的是先要驗(yàn)證是一個(gè)同態(tài) 因?yàn)橹徽f了 他是一個(gè)映射 不一定滿足那個(gè)同態(tài)表達(dá)式

?同態(tài)基本定理

練習(xí)?

環(huán) 體 域

有些符號(hào)打字太麻煩了 直接看我寫的latex

定義

環(huán)

?體

交換環(huán) /域

?子環(huán)/子域

判斷子環(huán)的條件?

減法 類似于加法的逆?

子環(huán)

?子體/子域

?舉例:

零因子環(huán)

零因子?

無零因子環(huán)

?判斷無零因子環(huán)的充分必要條件(數(shù)理邏輯謂詞證明方法)

?判斷無零因子環(huán)的充分必要條件

有限環(huán)和體的關(guān)系?

練習(xí)?

做題中遇見的問題和技巧

• 通過結(jié)合律和消去律 證明代數(shù)系是群 必須是有限群的充要條件
• 群G的中心是G的子群
• 偶數(shù)階群一定至少存在一個(gè)階為2的元素
• 如果一個(gè)n階有限群中有一個(gè)元素的階等于該有限群的階n,那么這個(gè)群是一個(gè)循環(huán)群
• 如果兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)是d,則存在非零整數(shù)m,n,使得,ma+nb=d
• 同構(gòu)的兩個(gè)群階數(shù)相等
• 循環(huán)群一定是一個(gè)交換群 循環(huán)群的子群是原來群的正規(guī)子群
• 如果一個(gè)群的階是素?cái)?shù)那么這個(gè)群一定是循環(huán)群(拉格朗日) 進(jìn)而也是一個(gè)交換群特殊的2階群是循環(huán)群也是交換群
• 三階群是交換群? 四階群也是交換群 證明往上翻
• H為G的正規(guī)子群 ah不一定等于ha ah = ah1
• 指數(shù)為2的子群是正規(guī)子群
• 證明兩個(gè)集合乘法仍然是原來的子群只需證明AB = BA
• 證明G\H是商群的時(shí)候一定先說明H是正規(guī)子群
• 商群G\H的單位元是H,所有的元素(元素是集合)要么相等要么互不相交
• 證明同態(tài)的時(shí)候有的時(shí)候先要說明是一個(gè)映射 就是證明任意的a=b f(a)=f(b)相同的元素映射到相同的位置
• 同態(tài)的核只是相對(duì)于滿同態(tài)來說 他是用來衡量同態(tài)映射的單射程度
• {e}是任何群的正規(guī)子群 這在同態(tài)的證明和同態(tài)核中有一部分的應(yīng)用
• 證明環(huán)是第一個(gè)是Abel群 第二個(gè)是半群 不要搞混

1.證明是商群必須證明是正規(guī)子群

q:請(qǐng)問不是交換群 可不可以說明他有一個(gè)n階商群??[G:H]=?n和商群的階是n是一回事么

a:商群必須是正規(guī)子群左陪集構(gòu)成的集族? 所以不是一回事

2.

使用反證法

3. 利用分類討論的思想來做題

?4.利用找特殊的方法

找出一個(gè)例子?

5.利用已知條件進(jìn)行一個(gè)"構(gòu)造"的方法

?

?????????????????????????????????????????????????關(guān)鍵是在3->2的推導(dǎo)?

6.這個(gè)題雖然也是課后題?了解一下就好 拓展一下思路

.類比的思考 比如這個(gè)題 解答版能不能把那個(gè)定理推廣到右陪集

8.拉格朗日定理的拓展

紅筆的原因? 因?yàn)镠是是A的子集，所以H中元素與A構(gòu)成的陪集就是A? 詳見任世軍老師的網(wǎng)課?

9.存在性問題?

六階群 一定存在一個(gè)三階子群

2n階交換群一定存在一個(gè)n階商群

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-755505.html

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