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模式識(shí)別 —— 第一章貝葉斯決策理論

2年前作者：夢(mèng)里一聲何處鴻分類：Toy博客閱讀(26)違法舉報(bào)

這篇具有很好參考價(jià)值的文章主要介紹了模式識(shí)別 —— 第一章貝葉斯決策理論。希望對(duì)大家有所幫助。如果存在錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，請(qǐng)大家不吝賜教，您也可以點(diǎn)擊"舉報(bào)違法"按鈕提交疑問。

模式識(shí)別 —— 第一章貝葉斯決策理論

前言

新的學(xué)期開始了，當(dāng)然是要給不愛吃香菜的月亮記錄學(xué)習(xí)筆記呀~

沒多久了，待夏花絢爛之時(shí)~人山人海，我們?nèi)缂s而至！

以后清河海風(fēng) 溶溶月色共賞之人就在身側(cè) mua~

貝葉斯決策

先驗(yàn)概率

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先驗(yàn)概率就是人們根據(jù)一些先驗(yàn)知識(shí)預(yù)先知道的一些概率。比如，南理工男女比例7:3.

類條件概率

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就是在先驗(yàn)概率 $w_i$ 的條件下發(fā)生 $x$ 事件的概率。

后驗(yàn)概率

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由這張圖也可以看出，最大后驗(yàn)概率決策其實(shí)就是最小錯(cuò)誤決策。

最大后驗(yàn)概率決策（最小錯(cuò)誤率決策）

后驗(yàn)概率形式：

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條件概率形式

其實(shí)就是用貝葉斯公式展開后約去分母

似然比形式
貝葉斯最小最大決策,模式識(shí)別,概率論,機(jī)器學(xué)習(xí),人工智能通過上式移項(xiàng)得到。

對(duì)數(shù)形式
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主要是方便求導(dǎo)，也可將之后的累乘化為累加。

最小風(fēng)險(xiǎn)決策

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從不同性質(zhì)的錯(cuò)誤會(huì)引起不同程度的損失這一考慮出發(fā)，我們有時(shí)寧肯擴(kuò)大一些總的錯(cuò)誤率，也要使總的損失最小。這就提出了最小損失準(zhǔn)則的決策方法。例如，有時(shí)2類代價(jià)相差很大，比如醫(yī)療診斷的場(chǎng)合、工業(yè)檢測(cè)。

為了區(qū)分不同錯(cuò)誤的代價(jià)，我們這里引入了決策代價(jià)。

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對(duì)應(yīng)的決策代價(jià)表如下：

在采取決策 $a_j$ 的條件期望是：

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看所有判決對(duì)應(yīng)的期望，選最小的風(fēng)險(xiǎn)判決。

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整體流程如下：

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最小錯(cuò)誤率判決（最大后驗(yàn)概率判決）與最小風(fēng)險(xiǎn)決策的似然比形式一樣，只不過在判別閾值上最小風(fēng)險(xiǎn)決策要加上損失代價(jià)。

含拒取的最小損失判別規(guī)則

例如，人臉識(shí)別中有一些未識(shí)別的情況，而不是錯(cuò)誤的將你識(shí)別成另外一個(gè)人。那么當(dāng)后驗(yàn)概率小于多少時(shí)采取拒取呢？如下圖推導(dǎo)：

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N-P判決

在實(shí)際問題中，可能存在某一個(gè)錯(cuò)誤較另一個(gè)錯(cuò)誤更為重要。于是我們想在限定一類錯(cuò)誤的概率下使得另一類錯(cuò)誤的概率最小。

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例如，在人臉識(shí)別中判斷錯(cuò)誤比未識(shí)別要嚴(yán)重許多。所以我們要求判斷錯(cuò)誤的概率要不超過 $10^{-6}$ （要不超過6位密碼的安全級(jí)才能投入使用）。在此基礎(chǔ)上，我們盡量降低拒取的概率。這里用的是拉格朗日乘子法，不再詳解。

判別函數(shù)和決策面

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正態(tài)分布下的貝葉斯決策

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對(duì)于二維正態(tài)分布有如下公式：

這里的 $\Sigma$ 是協(xié)方差矩陣

協(xié)方差方差矩陣

協(xié)方差定義
X、Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，X、Y 的協(xié)方差 cov(X, Y) 定義為：
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協(xié)方差矩陣定義
矩陣中的數(shù)據(jù)按行排列與按列排列求出的協(xié)方差矩陣是不同的，這里默認(rèn)數(shù)據(jù)是按行排列。即每一行是一個(gè)observation(or sample)，那么每一列就是一個(gè)隨機(jī)變量。
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求解協(xié)方差矩陣的步驟

協(xié)方差代表的意義

正相關(guān)
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負(fù)相關(guān)

不相關(guān)

當(dāng)X 與Y 正相關(guān)時(shí)，它們的分布大部分在區(qū)域（1）和（3）中，小部分在區(qū)域（2）和（4）中，所以平均來(lái)說，有 $(X ? EX) (Y ? E Y) > 0$ 。
當(dāng) X與 Y負(fù)相關(guān)時(shí)，它們的分布大部分在區(qū)域（2）和（4）中，小部分在區(qū)域（1）和（3）中，所以平均來(lái)說，有 $(X ? EX) (Y ? E Y) < 0$ 。
當(dāng) X與 Y不相關(guān)時(shí)，它們?cè)趨^(qū)域（1）和（3）中的分布，與在區(qū)域（2）和（4）中的分布幾乎一樣多，所以平均來(lái)說，有 $(X ? EX) (Y ? E Y) = 0$ 。

所以，我們可以定義一個(gè)表示X, Y 相互關(guān)系的數(shù)字特征，也就是協(xié)方差.

$co v (X, Y) = E (X ? EX) (Y ? E Y)$

當(dāng) $co v (X, Y) > 0$ 時(shí)，表明 X與Y 正相關(guān)；

當(dāng) $co v (X, Y) < 0$ 時(shí)，表明X與Y負(fù)相關(guān)；

當(dāng) $co v (X, Y) = 0$ 時(shí)，表明X與Y不相關(guān)。

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到了這里，關(guān)于模式識(shí)別 —— 第一章貝葉斯決策理論的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！

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