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目的

1.掌握二維 DFT 變換及其物理意義

2.掌握二維 DFT 變換的MATLAB 程序

3.空域濾波與頻域濾波

原理

1.應(yīng)用傅立葉變換進(jìn)行圖像處理

傅里葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個有力工具，它能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)、采樣點、電子放大器、卷積濾波器、噪音和顯示點等的作用。通過實驗培養(yǎng)這項技能，將有助于解決大多數(shù)圖像處理問題。對任何想在工作中有效應(yīng)用數(shù)字圖像處理技術(shù)的人來說，把時間用在學(xué)習(xí)和掌握博里葉變換上是很有必要的。

2.傅立葉（Fourier）變換的定義

對于二維信號，二維Fourier 變換定義為：
$$F(u,v)={\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }f(x,y)e^{?j2\pi (ux+vy)}dxdy$$
逆變換：
$$f(x,y)={\int }_{?\infty }^{\infty }{\int }_{?\infty }^{\infty }F(ud,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$
二維離散傅立葉變換為：
$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi \left(\frac{\mathrm{ux}}{\mathrm{M}}+\frac{vy}{N}\right)}$$
逆變換：
$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi \left(\frac{\mathrm{ux}}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$$
圖像的傅立葉變換與一維信號的傅立葉變換變換一樣，有快速算法，具體參見參考書目，有關(guān)傅立葉變換的快速算法的程序不難找到。實際上，現(xiàn)在有實現(xiàn)傅立葉變換的芯片，可以實時實現(xiàn)傅立葉變換。

利用MATLAB 實現(xiàn)數(shù)字圖像的傅立葉變換

A．

I=imread('D:\pic\DIP3E_CH03\Fig0316(3)(third_from_top).tif'); %讀入原圖像文件
imshow(I); %顯示原圖像
fftI=fft2(I); %二維離散傅立葉變換
sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到頻譜中心
RR=real(sfftI); %取傅立葉變換的實部
II=imag(sfftI); %取傅立葉變換的虛部
A=sqrt(RR.^2+II.^2);%計算頻譜幅值
A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %歸一化
figure %設(shè)定窗口
imshow(A); %顯示原圖像的頻譜

B．

傅立葉變換在圖像處理，特別是在圖像增強(qiáng)、復(fù)原和壓縮中，扮演著非常重要的作用。實際中一般采用一種叫做快速傅立葉變換（FFT）的方法，MATLAB 中的fft2 指令用于得到二維FFT 的結(jié)果，ifft2 指令用于得到二維FFT 逆變換的結(jié)果。

近似沖擊函數(shù)的二維快速傅立葉變換（FFT）

x=1:99;y=1:99;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
A=zeros(99,99);
A(49:51,49:51)=1;
B=fft2(A);
subplot(1,2,1),imshow(A),xlabel('空域圖象');
subplot(1,2,2),imshow(B),xlabel('時域圖象');
figure
subplot(1,2,1),mesh(X,Y,A),xlabel('空域'),grid on;
subplot(1,2,2),mesh(X,Y,abs(B)),xlabel('時域'),grid on;

空域濾波與頻域濾波

% 用于頻域濾波的m函數(shù)
function g=dftfilt(f,H)
F=fft2(f,size(H,1),size(H,2));
g=real(ifft2(H.*F));
g=g(1:size(f,1),1:size(f,2));

%
function PQ=paddedsize(AB,CD,PARAM)
if nargin==1
PQ=2*AB;
elseif nargin ==2 & ~ischar(CD)
PQ=AB+CD-1;
PQ=2*ceil(PQ/2);
elseif nargin == 2
m=max(AB);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
elseif nargin == 3
m=max([AB CD]);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
else
error('Wrong number of inputs')
end


%圖像f的傅里葉頻譜
f=imread(' D:\pic\DIP3E_CH04\Fig0438(a)(bld_600by600).tif');
F=fft2(f);
S=fftshift(log(1+abs(F)));
%S=gscale(S);
% gscale 函數(shù)參照  function g=gscale(f,varargin)
imshow(S)

%使用函數(shù)fspecial生成空間濾波器
h=fspecial(‘sobel’)
freqz2(h) %查看相應(yīng)頻域濾波器圖形
PQ=paddedsize(size(f));
H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2));
H1=ifftshift(H);

imshow(abs(H),[])
figure,imshow(abs(H1),[])

gs=imfilter(double(f),h);% 生成濾波后的圖像，并默認(rèn)采用了0進(jìn)行邊界填
充
gf=dftfilt(f,H1);

imshow(gs,[])
figure,imshow(gf,[])

figure,imshow(abs(gs),[])
figure,imshow(abs(gf),[])

%創(chuàng)建一幅閥值2值圖像
figure,imshow(abs(gs)>0.2*abs(max(gs(:))))
figure,imshow(abs(gf)>0.2*abs(max(gf(:))))
d=abs(gs-gf);
max(d(:))
min(d(:))

參考文獻(xiàn)：

[1] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, and Steven L. Eddins. 2003. Digital Image Processing Using MATLAB. Prentice-Hall, Inc., USA.

[2] 阮秋琦. 數(shù)字圖像處理（MATLAB版）[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2014.

[3] 岡薩雷斯. 數(shù)字圖像處理（第三版）[M]. 北京：電子工業(yè)出版社, 2011.文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-734723.html

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