動(dòng)態(tài)規(guī)劃詳解

動(dòng)態(tài)規(guī)劃 (Dynamic Programming) 是一種算法思想，用于解決一些復(fù)雜的問題。本文將介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃的分類、概念和經(jīng)典例題講解。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的分類

動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以分為以下兩種類型：

1. 0/1背包問題：該問題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一種基本類型。在背包問題中，有n個(gè)物品可以放入容量為W的背包中，每個(gè)物品有自己的重量和價(jià)值。需要選擇哪些物品能夠最大化背包的總價(jià)值。
2. 最長公共子序列問題：該問題是另一種經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃類型，涉及到兩個(gè)字符串，并找到這兩個(gè)字符串之間的最長公共子序列。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的概念

在解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題時(shí)，我們需要定義以下概念：

1. 狀態(tài) (State)：問題中需要優(yōu)化的變量，如背包問題中的容量，最長公共子序列問題中的字符串長度等。
2. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程 (State Transition Equation)：描述狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移過程，即問題的遞推關(guān)系。例如，在背包問題中，每個(gè)物品可以放入背包或不放入背包。因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以表示為：$$dp[i][j]=\max (dp[i?1][j],dp[i?1][j?w_i]+v_i)$$ 其中dp[i][j]表示在使用前i個(gè)物品時(shí)，填滿j容量的背包的最大價(jià)值。
3. 初始狀態(tài) (Initial State)：問題的初始條件，通常為問題規(guī)模最小的情況下的答案。在背包問題中，初始狀態(tài)為dp[0][0]=0。
4. 邊界狀態(tài) (Boundary State)：問題的邊界條件，在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中需要特別處理的狀態(tài)。在背包問題中，背包的容量不能為負(fù)數(shù)，因此需要在狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程中特別處理。

經(jīng)典例題講解

下面我們將分別介紹0/1背包問題和最長公共子序列問題的解法。

1. 0/1背包問題

題目描述：有n個(gè)物品和一個(gè)容量為W的背包。第i個(gè)物品的重量為wi，價(jià)值為vi?，F(xiàn)在，需要選擇一些物品放入背包，使得放入的物品的總重量不超過W，且總價(jià)值最大。求最大價(jià)值。

解題思路：定義狀態(tài)dp[i][j]為在使用前i個(gè)物品時(shí)，填滿j容量的背包的最大價(jià)值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下所示：$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i?1][j],& j<w_i\\ \max (dp[i?1][j],dp[i?1][j?w_i]+v_i),& j\ge w_i\end{array}$$ 其中dp[i-1][j]表示不放入第i個(gè)物品的最大價(jià)值，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]表示將第i個(gè)物品加入背包的最大價(jià)值。需要注意的是，如果當(dāng)前背包容量小于物品的重量，就不能將該物品放入背包。因此，需要特別處理背包容量小于物品重量的情況。

代碼實(shí)現(xiàn)：

int dp[101][1001];
int weight[101], value[101];

int knapSack(int n, int w)
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= w; j++) {
            if (j < weight[i]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    return dp[n][w];
}

2. 最長公共子序列問題

題目描述：給定兩個(gè)字符串A和B，找到它們的最長公共子序列 (LCS)。

解題思路：定義狀態(tài)dp[i][j]為字符串A的前i個(gè)字符和字符串B的前j個(gè)字符的LCS長度。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下所示：

$$dp[i][j]=?\begin{array}{ll}0,& i=0\text{或}j=0\\ dp[i?1][j?1]+1,& A_i=B_j\\ \max (dp[i?1][j],dp[i][j?1]),& A_i\ne B_j\end{array}$$

當(dāng)A[i-1]等于B[j-1]時(shí)，dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]+1，表示A和B中的相同字符加上它們前面的LCS。當(dāng)它們不相等時(shí)，LCS為它們前面的LCS的最大值，即dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最大值。

代碼實(shí)現(xiàn)：

int dp[1001][1001];
string A, B;

int LCS(int n, int m)
{
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            if (i == 0 || j == 0) {
                dp[i][j] = 0;
            } else if (A[i-1] == B[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

結(jié)語

動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種非常重要的算法思想，它通常用于解決復(fù)雜的問題。在應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決問題時(shí)，需要注意定義狀態(tài)、狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程、初始狀態(tài)和邊界狀態(tài)等概念。對于不同類型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，需要采用不同的解決方法。希望本文能夠幫助讀者加深對動(dòng)態(tài)規(guī)劃的理解。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-733647.html

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