當(dāng)大家面臨著復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，你是否曾經(jīng)感到茫然無(wú)措？作為2021年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽的O獎(jiǎng)得主，我為大家提供了一套優(yōu)秀的解題思路，讓你輕松應(yīng)對(duì)各種難題。

希望這些想法對(duì)大家的做題有一定的啟發(fā)和借鑒意義。
讓我們來(lái)看看MathorCup的A題！

問(wèn)題重述：

問(wèn)題1：圖像特征提取和模型建立

題目要求建立一個(gè)高識(shí)別準(zhǔn)確度、快速的模型，能夠識(shí)別道路圖像是正常的還是坑洼的。具體步驟包括：

1. 解壓data.zip，準(zhǔn)備訓(xùn)練數(shù)據(jù)。
2. 對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，如調(diào)整尺寸和數(shù)據(jù)增強(qiáng)。
3. 使用深度學(xué)習(xí)模型提取圖像特征。
4. 構(gòu)建一個(gè)分類模型，將特征轉(zhuǎn)化為更容易分類的表示形式。
5. 使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型。

問(wèn)題2：模型評(píng)估

題目要求對(duì)模型進(jìn)行評(píng)估，從不同維度考察其性能。評(píng)估指標(biāo)可能包括準(zhǔn)確率、召回率、精確度、F1分?jǐn)?shù)等，以及繪制ROC曲線和AUC。

問(wèn)題3：測(cè)試集識(shí)別
題目求使用已經(jīng)訓(xùn)練好的模型對(duì)未標(biāo)記的測(cè)試數(shù)據(jù)集（在競(jìng)賽結(jié)束前48小時(shí)公布下載鏈接）中的圖像進(jìn)行坑洼識(shí)別。將識(shí)別結(jié)果以特定格式填寫(xiě)到test result.csv中，并將該文件提交以供評(píng)估。

問(wèn)題一

問(wèn)題一的具體建模思路通?；谏疃葘W(xué)習(xí)方法，在這里我們使用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）。

1. 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：

   • 將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，以用于模型訓(xùn)練和評(píng)估。

2. 圖像預(yù)處理：

   • 調(diào)整圖像大小為固定尺寸，如$224\times 224$。
   • 數(shù)據(jù)增強(qiáng)：對(duì)訓(xùn)練圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)增強(qiáng)，包括旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、縮放和亮度調(diào)整等。

3. 特征提取：

   • 使用一個(gè)預(yù)訓(xùn)練的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（如ResNet、VGG、或MobileNet）來(lái)提取圖像特征。這些模型通常包含卷積層，用于捕獲圖像的特征。
   • 在模型的前幾層，特征圖會(huì)被提取出來(lái)。

4. 模型構(gòu)建：

   • 添加一個(gè)或多個(gè)全連接層，用于將提取的特征轉(zhuǎn)換為最終的分類輸出。
   • 使用sigmoid激活函數(shù)來(lái)輸出一個(gè)0到1的值，表示道路是否坑洼。

模型的建立可以表示為以下公式：

給定一個(gè)輸入圖像$x$，表示為一個(gè)$W\times H\times C$的三維張量，其中$W$和$H$是圖像的寬度和高度，$C$是通道數(shù)。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）將圖像$x$映射到一個(gè)輸出標(biāo)量$y$，表示道路是否坑洼的概率。這個(gè)映射可以表示為：

$$y=\sigma (f(x))$$

其中：

• $f(x)$表示卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前向傳播過(guò)程，包括卷積、池化和全連接等層的組合，用于提取圖像特征。
• $\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{?z}}$ 是sigmoid激活函數(shù)，將$z$映射到0到1的范圍內(nèi)，表示概率。

模型的訓(xùn)練可以使用二元交叉熵（binary cross-entropy）損失函數(shù)來(lái)度量預(yù)測(cè)概率與實(shí)際標(biāo)簽之間的差異：

$$\mathcal{L}(y,\hat{y})=?\left(y\log (\hat{y})+(1?y)\log (1?\hat{y})\right)$$

其中：

• $y$ 是實(shí)際標(biāo)簽（0表示坑洼，1表示正常道路）。
• $\hat{y}$ 是模型的預(yù)測(cè)概率。

訓(xùn)練模型的目標(biāo)是最小化損失函數(shù)$\mathcal{L}$，以使預(yù)測(cè)盡可能接近實(shí)際標(biāo)簽。

二元交叉熵（Binary Cross-Entropy）是一種用于衡量二分類問(wèn)題中模型預(yù)測(cè)與實(shí)際標(biāo)簽之間的差異的損失函數(shù)。它通常用于訓(xùn)練和評(píng)估二分類模型，例如判斷一個(gè)樣本屬于兩個(gè)類別中的哪一個(gè)。

這個(gè)損失函數(shù)的度量原理基于信息論的概念，特別是信息熵。以下是它的度量原理：

假設(shè)我們有一個(gè)二分類問(wèn)題，其中樣本的實(shí)際標(biāo)簽為$y$，可以取0或1，而模型的預(yù)測(cè)概率為$\hat{y}$，表示樣本屬于類別1的概率。

交叉熵?fù)p失的度量原理基于以下兩種情況：

1. 當(dāng)實(shí)際標(biāo)簽$y=1$時(shí)，交叉熵?fù)p失為：

   $$?\log (\hat{y})$$

   這表示模型預(yù)測(cè)樣本屬于類別1的概率越高，損失越小，反之則損失越大。這是因?yàn)閷?shí)際標(biāo)簽為1時(shí)，我們希望模型的預(yù)測(cè)也接近1。

2. 當(dāng)實(shí)際標(biāo)簽$y=0$時(shí)，交叉熵?fù)p失為：

   $$?\log (1?\hat{y})$$

   這表示模型預(yù)測(cè)樣本屬于類別0的概率越高，損失越小，反之則損失越大。這是因?yàn)閷?shí)際標(biāo)簽為0時(shí)，我們希望模型的預(yù)測(cè)也接近0。

在訓(xùn)練過(guò)程中，我們會(huì)將所有樣本的交叉熵?fù)p失加權(quán)求和，然后嘗試最小化這個(gè)總損失。這意味著模型的目標(biāo)是使其對(duì)于所有樣本的預(yù)測(cè)與實(shí)際標(biāo)簽更加一致，以最小化總的交叉熵?fù)p失。

總的二元交叉熵?fù)p失可以表示為：

$$\mathcal{L}(\hat{y},y)=?\left(y\log (\hat{y})+(1?y)\log (1?\hat{y})\right)$$

其中，$\mathcal{L}(\hat{y},y)$表示損失，$\hat{y}$表示模型的預(yù)測(cè)概率，$y$表示實(shí)際標(biāo)簽。最小化這個(gè)損失將使模型盡量接近實(shí)際標(biāo)簽的分布，以更好地進(jìn)行二分類任務(wù)。

代碼：

import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
import pandas as pd

# 加載和預(yù)處理數(shù)據(jù)
def load_and_preprocess_data():
    # 你需要編寫(xiě)加載和預(yù)處理數(shù)據(jù)的代碼，返回X和y
    # X是圖像數(shù)據(jù)，y是標(biāo)簽（0表示坑洼，1表示正常道路）
    # 這里使用一個(gè)假設(shè)的示例，你需要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行適配
    X = np.random.rand(301, 224, 224, 3)  # 示例隨機(jī)生成圖像數(shù)據(jù)
    y = np.random.randint(2, size=301)  # 示例隨機(jī)生成標(biāo)簽
    return {'images': X, 'labels': y}

# 構(gòu)建深度學(xué)習(xí)模型
def build_model():
    model = keras.Sequential([
        keras.layers.Conv2D(32, (3, 3), activation='relu', input_shape=(224, 224, 3)),
        keras.layers.MaxPooling2D((2, 2)),
        keras.layers.Conv2D(64, (3, 3), activation='relu'),
        keras.layers.MaxPooling2D((2, 2)),
        keras.layers.Flatten(),
        keras.layers.Dense(128, activation='relu'),
        keras.layers.Dense(1, activation='sigmoid')
    ])
    model.compile(optimizer='adam',
                  loss='binary_crossentropy',  # 二元交叉熵?fù)p失
                  metrics=['accuracy'])
    return model

# 模型訓(xùn)練
def train_model(X_train, y_train, X_val, y_val):
    model = build_model()
    #見(jiàn)完整版代碼

題目二

問(wèn)題二的建模思路需要分為兩個(gè)主要部分：模型訓(xùn)練和模型評(píng)估。

模型訓(xùn)練：

1. 數(shù)據(jù)加載與劃分：首先，加載問(wèn)題一中準(zhǔn)備好的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集（$X_{\text{train}}$，$y_{\text{train}}$）和驗(yàn)證集（$X_{\text{val}}$，$y_{\text{val}}$），通常采用交叉驗(yàn)證方法，以確保模型在不同數(shù)據(jù)子集上進(jìn)行訓(xùn)練和評(píng)估。

2. 模型選擇：選擇問(wèn)題一中構(gòu)建的深度學(xué)習(xí)模型，該模型已包含合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和損失函數(shù)（二元交叉熵），用于道路坑洼的分類任務(wù)。

3. 模型訓(xùn)練：使用訓(xùn)練集進(jìn)行模型訓(xùn)練。迭代多個(gè)周期（epochs），使模型能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)。訓(xùn)練過(guò)程中，模型會(huì)自動(dòng)調(diào)整權(quán)重，以最小化損失函數(shù)。

4. 超參數(shù)調(diào)優(yōu)：根據(jù)需要，進(jìn)行超參數(shù)調(diào)優(yōu)，包括學(xué)習(xí)率、批處理大小等。這可以通過(guò)驗(yàn)證集上的性能來(lái)指導(dǎo)。你可以使用交叉驗(yàn)證技術(shù)來(lái)嘗試不同的超參數(shù)組合。

• 數(shù)據(jù)加載與劃分：

$X_{\text{train}},y_{\text{train}},X_{\text{val}},y_{\text{val}}=\text{train\_test\_split}(X,y,\text{test\_size}=0.2,\text{random\_state}=42)$

• 模型選擇：
  $\text{model}=\text{build\_model}()$

• 模型訓(xùn)練：

  $\text{model.fit}(X_{\text{train}},y_{\text{train}},\text{epochs}=10,\text{validation\_data}=(X_{\text{val}},y_{\text{val}})$

模型評(píng)估：

使用ROC曲線和AUC（Area Under the Curve）來(lái)評(píng)估模型的性能是一種常見(jiàn)的方法，特別適用于二分類問(wèn)題。ROC曲線是一種用于可視化分類模型性能的工具，而AUC是ROC曲線下的面積，用于定量評(píng)估模型的性能。

1. 計(jì)算模型的ROC曲線：

在評(píng)估模型之前，你需要使用驗(yàn)證集上的真正例率（True Positive Rate，召回率）和假正例率（False Positive Rate）來(lái)構(gòu)建ROC曲線。這可以通過(guò)不同的分類閾值來(lái)實(shí)現(xiàn)。以下是ROC曲線的構(gòu)建過(guò)程：

• 為了計(jì)算ROC曲線，首先使用模型對(duì)驗(yàn)證集進(jìn)行預(yù)測(cè)，獲取每個(gè)樣本的預(yù)測(cè)概率。

• 使用不同的分類閾值（通常是0到1之間的值），將樣本分為正類和負(fù)類。根據(jù)不同閾值，計(jì)算真正例率（TPR）和假正例率（FPR）。

• 繪制TPR和FPR的曲線，即ROC曲線。

2. 計(jì)算AUC值：

AUC（ROC曲線下的面積）用于量化ROC曲線的性能。AUC的值通常在0.5和1之間，越接近1表示模型性能越好。

• 計(jì)算ROC曲線下的面積（AUC）。通常，你可以使用數(shù)值積分方法或庫(kù)函數(shù)來(lái)計(jì)算AUC的值。

3. 評(píng)估模型：

根據(jù)ROC曲線和AUC值進(jìn)行模型評(píng)估。

• AUC接近1表示模型具有良好的性能，可以很好地區(qū)分正類和負(fù)類樣本。

• ROC曲線越接近左上角（0,1），表示模型性能越好。

• 如果AUC接近0.5，模型性能可能很差，類似于隨機(jī)猜測(cè)。

• 比較不同模型的AUC值，選擇具有較高AUC值的模型。

• 根據(jù)任務(wù)需求，可以根據(jù)不同的閾值來(lái)調(diào)整模型，以在召回率和精確度之間取得平衡。

import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import roc_curve, auc
import matplotlib.pyplot as plt

# 加載和預(yù)處理數(shù)據(jù)（與問(wèn)題一相同）
def load_and_preprocess_data():
    # 你需要編寫(xiě)加載和預(yù)處理數(shù)據(jù)的代碼，返回X和y
    # X是圖像數(shù)據(jù)，y是標(biāo)簽（0表示坑洼，1表示正常道路）
    # 這里使用一個(gè)假設(shè)的示例，你需要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行適配
    X = np.random.rand(301, 224, 224, 3)  # 示例隨機(jī)生成圖像數(shù)據(jù)
    y = np.random.randint(2, size=301)  # 示例隨機(jī)生成標(biāo)簽
    return {'images': X, 'labels': y}

# 構(gòu)建深度學(xué)習(xí)模型（與問(wèn)題一相同）
def build_model():
    model = keras.Sequential([
        # 模型結(jié)構(gòu)，與問(wèn)題一相同
    ])
    model.compile(optimizer='adam',
                  loss='binary_crossentropy',  # 二元交叉熵?fù)p失
                  metrics=['accuracy'])
    return model

# 模型訓(xùn)練（與問(wèn)題一相同）
def train_model(X_train, y_train, X_val, y_val):
    model = build_model()
    model.fit(X_train, y_train, epochs=10, validation_data=(X_val, y_val))
    return model

# 計(jì)算ROC曲線和AUC
def calculate_roc_auc(model, X_val, y_val):
    y_pred = model.predict(X_val)
    fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_val, y_pred)
    roc_auc = auc(fpr, tpr)
    return fpr, tpr, roc_auc

# 繪制ROC曲線
def plot_roc_curve(fpr, tpr, roc_auc):
    plt.figure()
    plt.plot(fpr, tpr, color='darkorange', lw=2, label='ROC curve (area = %0.2f)' % roc_auc)
    plt.plot([0, 1], [0, 1], color='navy', lw=2, linestyle='--')
    plt.xlim([0.0, 1.0])
    plt.ylim([0.0, 1.05])
    plt.xlabel('False Positive Rate')
    plt.ylabel('True Positive Rate')
    plt.title('Receiver Operating Characteristic')
    #見(jiàn)完整代碼

問(wèn)題三

問(wèn)題三要求使用已訓(xùn)練的模型對(duì)測(cè)試集中的坑洼圖像進(jìn)行識(shí)別，并將識(shí)別結(jié)果保存在一個(gè)CSV文件中。以下是問(wèn)題三的具體建模思路，：

模型應(yīng)用：

1. 加載已訓(xùn)練模型：首先，加載問(wèn)題一或問(wèn)題二中訓(xùn)練好的模型。這個(gè)模型應(yīng)該是能夠識(shí)別道路坑洼的模型。

2. 加載測(cè)試數(shù)據(jù)：加載問(wèn)題一中提供的測(cè)試數(shù)據(jù)集（通常以圖像的形式）。

3. 圖像預(yù)處理：對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行與訓(xùn)練數(shù)據(jù)相同的預(yù)處理，包括圖像歸一化、縮放等操作。

4. 模型預(yù)測(cè)：使用加載的模型對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到每張圖像的分類結(jié)果（0表示坑洼，1表示正常道路）。

結(jié)果保存：

5. 保存識(shí)別結(jié)果：將圖像文件名與對(duì)應(yīng)的分類結(jié)果（0或1）保存在CSV文件中。這個(gè)文件將作為問(wèn)題三的提交文件。

模型應(yīng)用：

• 加載已訓(xùn)練模型：

$\text{model}=\text{load\_trained\_model}()$

• 加載測(cè)試數(shù)據(jù)：

  $\text{test\_data}=\text{load\_test\_data}()$

• 圖像預(yù)處理：

  $\text{preprocessed\_test\_data}=\text{preprocess\_images}(\text{test\_data})$

• 模型預(yù)測(cè)：

  $\text{predictions}=\text{model.predict}(\text{preprocessed\_test\_data})$

結(jié)果保存：

• 保存識(shí)別結(jié)果：

  $\text{save\_results\_to\_csv}(\text{test\_data\_file\_names},\text{predictions})$

import numpy as np
import pandas as pd
import tensorflow as tf
from tensorflow import keras

# 加載已訓(xùn)練的模型
def load_trained_model(model_path):
    model = keras.models.load_model(model_path)
    return model

# 加載測(cè)試數(shù)據(jù)
def load_test_data(test_data_dir):
    # 你需要編寫(xiě)加載測(cè)試數(shù)據(jù)的代碼，返回測(cè)試數(shù)據(jù)集
    # 這里使用一個(gè)假設(shè)的示例，你需要根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行適配
    test_data = np.random.rand(1000, 224, 224, 3)  # 示例隨機(jī)生成測(cè)試圖像數(shù)據(jù)
    return test_data

# 圖像預(yù)處理（與問(wèn)題二相似）
def preprocess_images(images):
    # 你需要編寫(xiě)與問(wèn)題二中相似的圖像預(yù)處理代碼
    # 包括圖像歸一化、縮放、通道處理等操作
    return preprocessed_images

# 模型預(yù)測(cè)
def predict_with_model(model, test_data):
    predictions = model.predict(test_data)
    # 假設(shè)模型輸出概率，可以根據(jù)閾值將概率轉(zhuǎn)換為類別（0或1）
    predicted_labels = (predictions >= 0.5).astype(int)
    return predicted_labels

# 保存識(shí)別結(jié)果到CSV文件
def save_results_to_csv(file_names, predicted_labels, output_csv_file):
    results_df = pd.DataFrame({'fnames': file_names, 'label': predicted_labels})
    results_df.to_csv(output_csv_file, index=False)

# 示例用法
if __name__ == '__main__':
    model_path = 'trained_model.h5'  # 已訓(xùn)練模型的文件路徑
    test_data_dir = 'test_data'  # 測(cè)試數(shù)據(jù)集的目錄
    output_csv_file = 'test_results.csv'  # 結(jié)果保存的CSV文件名

    # 加載已訓(xùn)練的模型
    trained_model = load_trained_model(model_path)
#見(jiàn)完整版代碼

完整代碼+思路：
2023年第四屆MathorCup大數(shù)據(jù)競(jìng)賽（A題）文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-717860.html

到了這里，關(guān)于2023年第四屆MathorCup大數(shù)據(jù)競(jìng)賽（A題）|坑洼道路檢測(cè)和識(shí)別|數(shù)學(xué)建模完整代碼+建模過(guò)程全解全析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！