意見動態(tài)建模

$1_n$：表示n維全為1的列向量

$0_n$：表示n維全為0的列向量

$I_n$：表示$n\times n$的單位陣

$e_i$：表示基單位向量，向量中除了第i個位置上為1外其余都為0

矩陣A為非負矩陣，意味著著其中所有的元素$a_{ij}\ge 0$

矩陣A為正矩陣，意味著著其中所有的元素$a_{ij}>0$

對于非負矩陣A，若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}\le 1$，即每行元素和小于等于1，則稱A為行次隨機矩陣；若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$，則稱A為行隨機矩陣；若${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$且${\sum }_{j=1}^n{a}_{ji}=1$，則稱A為雙隨機矩陣。

譜半徑：只有方陣才有譜半徑，譜半徑是方陣A的最大特征值的絕對值。$\rho (A)=max\left|{\lambda }_i\right|$

本原矩陣：若$?k\in N$，使得$A^k>0$，則稱非負方陣A為本原矩陣。

圖論

圖的相關定義：

$g[A]=(V,\epsilon [A],A)$，其中$V=v_1,v_2,...,v_n$是圖中的頂點，在文中表示單個個體；

邊$e_{ij}=(v_i,v_j)$在$a_{ij}>0$的時候，是有序集合$\epsilon [A]$的元素；

若$\epsilon [A]$中存在元素$e_{ii}$，則表示節(jié)點$v_i$有一個環(huán)(loop)；

$e_{ij}$是$v_j$的輸入，是$v_i$的輸出，意味著vj會學習到有關vi的信息(通常是一個意見值)；

通常$A\ne A^T$，所以這里假定g[A]是有向圖；

$v_i$的鄰居節(jié)點為 N i = { v j ∈ V : ( v j , v i ∈ ? [ A ] ) } N_i = \{v_j∈V:(v_j,v_i∈?[A])\} Ni?={vj?∈V:(vj?,vi?∈?[A])}
如果存在一條直接路徑，使得從$v_j$到達$v_i$，則稱vi是可以到達的，直接路徑是邊的集合。

強連通：在有向圖$\epsilon [A]$中，對于任何兩個節(jié)點之間都存在路徑就是強連通圖。

有向圖：出發(fā)點和終點是同一個點，且在路徑上除了出發(fā)點/終點外沒有重復的點，圖的長度就是路徑邊的數量。

非周期性：任何有自回路的圖都是非周期性的。

引理1：當且僅當A為本原矩陣時，ε[A]是強連通，非周期性的。

引理2(主導特征向量)：

對于強連通圖$\epsilon [A]$和行隨機矩陣A，有嚴格正的左、右特征向量$u^T$和$1_n$

它們與A的特征值${\lambda }_1=\rho (A)=1$相關，且正交化使得$u^T{1}_n=1$，那么$u^T$和$1_n$稱為A的主導左、右特征向量。

DeGroot 模型

DeGroot模型假定n個人討論一個主題，用$g[A]$來建模個體之間的交互行為，$x_i(k)$表示的是第i個人在k時刻的觀點，時間k是離散值$(k=0,1,2,...)$，根據模型可以建模如下(1)：

即第i個人在第k+1時刻的觀點同所有人前一時刻k的觀點有關，${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$，所以A是非負的行隨機矩陣。寫出緊湊形式如下(2)：

DeGroot模型又稱加權平均模型，它假設在每個更新時刻，個體觀點更新為其所有鄰居節(jié)點觀點的加權平均，其中權重由個體之間的相互影響刻畫。
引理3：

假定是g[A]強連通的，那么當且僅當g[A]為非周期時模型會收斂如下：

其中，$\beta ={\delta }^{T}x(0)$，且δT是A的主導左特征向量。

對于一些主觀性強的問題，沒有確切答案，所以此時令觀點$x_i$為連續(xù)值(實數)比較好；對于一些有關導致行為的問題(是否問題)，$x_i$定義為離散值。

上述的${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}=1$和$a_{ij}\ge 0$確保了$x_i(k+1)$是$x_j(k)$的凸組合/加權平均，使得(1)作為一種平均算法廣泛應用于多主體一致的協調。

Friedkin-Johnsen models

在DeGroot模型的基礎上，Friedkin-Johnsen模型引入了“固執(zhí)”個體的概念，即個體對自己的初始觀點帶有固執(zhí)性。個體的觀點更新為其所有鄰居節(jié)點的凸組合與其處事觀點的加權平均(3)：

$$x_i(k+1)={\lambda }_i\sum _j^n{a}_{ij}{x}_j(k)+(1?{\lambda }_i)x_i(0)$$
${\lambda }_i$：敏感性，即受他人觀點影響的易感程度

$1?{\lambda }_i$：不敏感性，也是代表一個人有多固執(zhí)，有多堅持他最初的觀點，有多么不愿意接受別人的信息

若${\lambda }_i=1$，就說明一個人他很容易被他人觀點影響，即不固執(zhí)，這時候(3)同(1)，回到了最初的DeGroot模型

若${\lambda }_i=0$，表示這個人極大的拒絕他人的影響，如果是DeGroot模型的話，當節(jié)點i沒有鄰居節(jié)點的時候這個情況可能會發(fā)生。

如同前一個模型，我們寫出緊湊形式(4)：

$\Lambda$ 是敏感性構成的對角陣，若所有人都很敏感，那么所有${\lambda }_i$都為1

• 引理4：

假定至少有一個節(jié)點i，有${\lambda }_i$，即至少有一個不那么敏感；$g[A]$為強連通，$?i,j\in 1,...,n$，使得，則$\rho (I_n?\Lambda A)<1$，且下式以指數速度收斂：

${\lim }_{k\to \infty }x(k)=x^{?}=Vx(0)$
其中，$V=(I_n?\Lambda A{)}^{?1}(I_n?\Lambda )$是行隨機矩陣，x^?的每一項都是x(0)的凸組合。

Friedkin-Johnsen模型在強連通網絡中，每當$?i,j\in 1,...,n$，有且$x_i(0)\ne x_j(0)$時，通常會產生強多樣性的有限觀點。

如果每個人都有一些固執(zhí)，即${\lambda }_i<1$，那么對一般的初始條件x(0)，會有任何兩個$x_i^{?}\ne x_j^{?}$，即在幾乎所有的初始條件下，個體們的有限的觀點在社會網絡中展示了強大的多樣性。

社會權力演變

假設一個人參加了一個強連通網絡的討論，其中要討論很多話題，這些話題是按順序進行討論的。且一個人可以在這整個討論過程中感知到他對每次討論結果的影響力，如果它感知到自己對討論結果的影響力越來越小，那么他會變得對自己的觀點沒有最初那么自信，這種自信稱之為社會權力(social power)。在本節(jié)討論的模型中，首先引入按順序排列的話題序列如下：
$S=1,2,...,n$

根據引理3，在DeGroot模型下，強連通網絡會使得每個話題最終都會達成一致意見。
我們在本節(jié)要介紹的模型中，關注點有二：一是一個人如何評估他在一次討論中的影響；二是他要如何通過更新自信來影響下一個話題的討論。

首先引入一些符號標記：

$a_{ii}$為A對角線上的元素，表示節(jié)點i的自信

$a_{ii}(s)$是i對于話題s的自信，可以某種方式發(fā)生改變

$x_n(k,s)$隨時刻k的變化而變化，它表示第i個個體就話題s在k時刻的觀點值

隨時刻演變有(6)：

$x_i(k+1,s)=a_{ii}(s)x_i(k,s)+(1?a_{ii}(s)){\sum }_{j\ne i}^n{c}_{ij}{x}_j(k,s)$
其中：$c_{ij}\ge 0$且獨立于s，它表示i對j的相對信任，定義$c_{ii}=0$，確保${\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}=1$；

定義$a_{ij}(s)=(1?a_{ii}(s))c_{ij}$，使得${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(s)=1$
緊湊如下(7)：

$x(k+1,s)=A(s)x(k,s)$

其中有(8)：

自我評價反映的演變

任何話題的意見討論建模都是通過Degroot模型完成的，Friedkin-Johnsen模型的重點在于提出一個系統(tǒng)的機制來更新$a_{ii}(s)$

情況一：考慮一個主題$s\in S$且$g[C]$是強連通圖時，若所有的$a_{ii}(s)<1$且存在至少一個$a_{ij}(s)>0$，那么$g[A(s)]$就是強連通圖，$A(s)$就是非周期的。因此根據引理3，$x(s,k)$就會隨時間增長最終達成一致意見。

情況二：若$?j$使$a_{jj}(s)=1$而其余節(jié)點$i\ne j$都有$a_{ii}(s)<1$，則$g[A(s)]$是這樣一個圖：它存在一條路從節(jié)點j通往其余節(jié)點，但節(jié)點j沒有入節(jié)點，這種情況下$g[A(s)]$就不是強連通圖，此時${\lim }_{k\to \infty }x(s,k)=x_j(0)1_n$，最終意見都與節(jié)點j相同。

綜上兩種情況，可以寫出(9)：

$$\underset{k\to \infty }{\lim }x(s,k)={\zeta }^T(s)x(0,s)1_n=\sum _{i=1}^n{\zeta }_i(s)x_i(0,s)1_n$$
其中，${\zeta }^T$是$A(s)$的主導左特征向量，若是第二種情況，則有${\zeta }^T=e_j$
有${\sum }_{i=1}^n{\zeta }_i(s)=1$，可知${\zeta }_i(s)$表示著一種相對貢獻/社會權力，表示一個人對話題做的貢獻，和討論中的影響力。

Friedkin-Johnsen模型提出，在每個話題討論結束時，每個人都會通過下述方式來更新自信(10)：

$a_{ii}(s)={\zeta }_i(s)$

即$A(s+1)$中的對角線元素$a_{ii}(s)$就是$A(s)$的主導左特征向量上的元素${\zeta }_i(s)$
即個體衡量他自己的觀點相對于他人觀點的權重=他對最終結果的貢獻，所以自信是如何調整的，和話題s的順序有關。

當初始情況滿足上述情況一或情況二時，考慮話題的順序(11)：

其中$r_i$是C的主導左特征向量上的第i個位置的元素

DeGroot-Friedkin模型(DeGroot)的新研究

定義(星圖)：有一個節(jié)點與其余所有節(jié)點有連接，但其余節(jié)點相互之間沒有連接。有向無向均可。

定理：如(11)定義的更新機制$\zeta (s+1)=F(\zeta (s))$，考慮$g[C]$強連通圖中至少有三個節(jié)點的情況，假定最初條件滿足：$?j:a_{jj}(0)>1$且其余$a_{ii}(0)<1$，則有：

1. 若g[C]是星形圖，中心節(jié)點為$v_1$，不失一般性的有${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)=e_1$，且收斂速度是漸進的而不是以指數速度的，其他點是不穩(wěn)定的。
2. 若$g[C]$不是星形圖，則${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)={\zeta }^{?}$是以指數速度收斂的，且${\zeta }^{?}$是唯一固執(zhí)點。

最終社會權力的分析

就非星形圖而言，有關最終唯一固執(zhí)點${\zeta }^{?}$的結論如下：

當且僅當$r_j>r_i$時，有${\zeta }_j^{?}>{\zeta }_i^{?}$
當且僅當$r_j=r_i$時，有${\zeta }_j^{?}={\zeta }_i^{?}$
其中$r_i$是C的左主導特征向量上的第i個位置上的元素

$r_i$的排列順序可能會影響最終社會權力的確定(13)：

$${\zeta }_i^{?}\le \frac{r_i}{1?r_i}$$

動態(tài)相對互動拓撲

考慮更多的時變(time-variation)，這些時變使得相對信任矩陣C中元素發(fā)生變化，即個體之間的相對信任不再是不變的，這是有道理的，比如在討論不同的話題的時候，有一些人較為擅長該話題，那么其他人就會給予這個人更多的信任。

$\sigma (s)$引入一個開關信號，它捕捉了相對信任矩陣C的主題的變化時的性質。$\sigma (s)$獨立于$\zeta (s)$，此時有$g[C(s)]=g[C_{\sigma (s)}]$，此時有(14)：

$\zeta (s+1)=F_{\sigma (s)}(\zeta (s))$

對于上述系統(tǒng)，有(15)：

${\lim }_{s\to \infty }\zeta (s)={\zeta }^{?}(s)$

其中，${\zeta }^{?}$是由決定的唯一極限軌跡，若周期性變化，則軌跡也是周期性軌跡。

相似時間尺度，記憶和噪聲

觀點演化和社會權力演化的時間尺度k是不同是，通常觀點演化要快于權力演化，因此一致意見總是在自信尚未更新前就達到了，(10)意味著每個人都精確的知道自己的相對貢獻，但這在大型網絡中是不太可能的。

表達觀點(expressed opinion)和私人觀點(private opinion)

在某些情況下，個體與他們交往時可能會表達與他們私下觀點并不一致的觀點，稱之為表達觀點。本節(jié)專門介紹一種動態(tài)模型，其中包含了對觀點的這種區(qū)分。之所以會出現這種區(qū)別，是因為個人在集體環(huán)境中感到有壓力，他們必須要遵守社會標準或規(guī)范。

最近的另一項著作創(chuàng)造了“偽造偏好”(preference falsification)一詞，用以描述一種情況，即一個人有意或無意識地表達了他/她真實意見的改變形式。不受歡迎的規(guī)范也可以強制執(zhí)行，即使大多數人而私下不喜歡它們，但是人們會出于擔心孤立和暴露而表示出喜歡。多元無知(pluralistic ignorance)一詞已被用來描述私人意見與公眾意見之間大量出現差異的結果：人們認為，在現實中，公眾多數支持立場A（例如在新聞媒體中他們表達了意見），但實際上多數人支持（私人）B立場。

已經提出了定量模型以嘗試捕獲一些上述現象。這些模型是靜態(tài)的，本質上是實驗數據的曲線擬合。 相反，可以開發(fā)與前幾節(jié)中探討的模型相一致的基于動態(tài)主體的模型，因為這些模型可以使我們更深入地了解意見如何通過網絡進行變化，包括時間變化的影響。

EPO模型

EPO(expressed-private-opinions)模型是一種動態(tài)模型，它目的是在個體的表達觀點和私人觀點之間找到這種差異是如何產生的，假定一個人的表達觀點是其私人觀點由于遵守社會網絡平均觀點(social network’s average opinion)的壓力而改變的。換句話說，個人對壓力具有一定的“彈性”，但并不受其影響。還假定每個人仍然像Friedkin-Johnsen模型中那樣，在某種程度上仍然與個人的初始觀點聯系在一起。雖然“頑固性”的概念在意見動態(tài)中已經很普遍了一段時間，例如在Friedkin-Johnsen模型中，但“彈性”(resilience)的概念是專門為EPO模型引入的。

該模型的數學形式可以看作是Friedkin-Johnsen模型的適度調整。 關鍵的擴展是通過以下方式向第i個代理賦予稱為彈性的標量參數。

其中，${\tilde{x}}_{avg}(k?1)={\sum }_{i=1}^n\frac{{\tilde{x}}_i(k?1)}{n}$，為公眾觀點(public opinion)；${?}_i$表示彈性，彈性越大，就越不易被公眾觀點影響私人觀點，換言之，私人觀點和表達觀點的差距就越小。

上式說明個體擁有私人觀點$x_i\left(k\right)$，和表達觀點$x_{avg}\left(k\right)$，表達觀點供其他個體進行了解，表達觀點是聯合私人觀點及群體影響(用表達觀點計算的社會網絡平均觀點)的觀點。對于中小型網絡，上式可行，因為能夠計算得出所有個體的表達觀點用來計算社會網絡平均觀點，但是對于大型網絡，公眾的觀點需要通過民意調查和社交媒體時，需要將上式的(21b)替換成下式(22)：

(22)：${\tilde{x}}_i(k)={?}_i{x}_i(k)+(1?{?}_i)x_{i,lavg}(k?1)$

其中，${\tilde{x}}_{i,lavg}(k?1)={\sum }_{j\in Ni}^n{b}_{ij}{\tilde{x}}_j$是個體i的鄰居節(jié)點的權重以及表達意見，此時，稱$x_{i,lavg}(k?1)$為個體i的局部公共觀點。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-707077.html

到了這里，關于觀點動力學模型：主要理論與模型綜述的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內容，請在右上角搜索TOY模板網以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網！