角點
? ? ? ? 一般來說，角點就是極值點，在某些屬性上強度最大或者最小的孤立點、線段的終點或拐點等。其實理解角點可以按照我們的直覺來理解，以下圖為例，圖中用顏色標注的地方都是角點：
? ? ? ? 原圖地址：理解經(jīng)典角點檢測算法–Harris角點 | 碼農(nóng)家園?
? ? ? ? ?對于人類來說，判斷角點是很容易的，對于計算機來說又是如何檢測到角點的呢？
角點的特征
? ? ? ? ?這幅圖應該是所有講角點特征的時候必用的圖了。對于平坦區(qū)域，當我們對某個子窗口超各個方向進行移動統(tǒng)計區(qū)域內梯度變化的時候，基本不會有明顯的梯度變化；對于邊來說，在某個方向上梯度有明顯變化；對于角來說，移動時各個方向的梯度變化都很明顯。
? ? ? ? 上圖的意思，就是說我們設定一塊小區(qū)域或小窗口，然后朝著各個方向進行移動，計算出各個方向移動的時候對應的梯度變化，然后進行對所有方向的變化進行加和。用數(shù)學公式表達如下：
? ? ? ? 其中：
? ? ? ? (x,y)表示窗口w對應的像素坐標位置，有多少個像素點位置取決于窗口的大小
? ? ? ? I(x,y)是像素坐標為(x,y)的像素點的灰度值
? ? ? ? I(x + u, y + v)是像素坐標為(x + u,y + v)的像素點的灰度值
? ? ? ? w(x,y)是一個窗口函數(shù)，實際理解為一個權重值就可以了，窗口函數(shù)一般有兩種思路：
? ? ? ? ?一種是用邊界判斷的方法，窗口內的像素權重都取1，窗口外的像素權重都取0.實際上這種方式就相當于沒有窗口函數(shù)了（Moravec）。
? ? ? ? 另一種思路是用高斯函數(shù)做加權，如果窗口W中心點是角點時，移動前與移動后， 該點在灰度變化貢獻最大；而離窗口w中心(角點)較遠的點對灰度變化貢獻較小，因此使用二維高斯函數(shù)來表示窗口函數(shù)是自然而然的事情。
? ? ? ? 實際上，上面的式子就是Moravec角點檢測算法的核心，這種角點檢測方法的(u,v)考慮了0°，45°，90°，135°方向的像素點坐標，實際可以理解為(u,v)取值有四種 (1, 0) , (1,1), (0,1)以及(-1,1)。當然，實際應用中，我們也可以讓(u,v)取8個方向的值。
? ? ? ? 從Moravec角點檢測算法看，它主要有幾個缺點：
? ? ? ? 1.? 不具有旋轉不變性和尺度不變性
? ? ? ? 2. 算法使用方形窗口，因此的E的響應比較容易受到干擾
? ? ? ? 3. 對邊緣響應過于靈敏
二元函數(shù)泰勒展開
? ? ? ? 要理解Harris角點檢測，我們需要知道二元函數(shù)泰勒展開式。
? ? ? ? 這個公式看起來很復雜，實際上對于理解Harris角點檢測來說，我們不用關注二階導以上的部分。關注一下一階導部分即可，我們將h和k換成前一小節(jié)的u和v，則有如下近似:
? ? ? ? ? 其中，和分別表示x的一階偏導和y的一階偏導。
Harris角點檢測
? ? ? ? Harris角點檢測的w窗口函數(shù)一般情況選取的是二維高斯函數(shù)，當然也可以用其他窗口函數(shù)。
? ? ? ? 我們先切回到求E的這個等式：
? ? ? ? 我們對中括號里的這一項，進行二元函數(shù)泰勒的一階展開，可得：
????????
? ? ? ? 將這個式子帶回到原始，可得(這里忽略掉窗口函數(shù))：
? ? ? ? ?然后，將這個完全平方展開的式子改寫成矩陣形式：
? ? ? ? 這個矩陣形式，可以用矩陣乘法計算一下，和之前的式子是相等的。對于求和符號來說，由于u，v和x，y是無關的，我們可以將包含u和v的向量提取出來，得到：
????????我們將窗口函數(shù)放回來，用一個矩陣M來表示，可以得到：
?? ? ? ? 最后，我們可以得到E(u,v)和M的相關函數(shù)：
? ? ? ? 得到這個式子后，我們可以看到，E的值和M是相關的。
? ? ? ? 我們再來看M矩陣：
? ? ? ? ?這是一個實對稱矩陣（2階方陣，元素都是實數(shù)，并且轉置矩陣和M本身相等），這里不管每一個Ix和Iy取值如何，相加后矩陣仍然是對稱的。
????????實對稱矩陣一定可以做相似對角化，即存在正交矩陣P，使得
? ? ? ? ，是M的特征值，由上面的式子可以得：
????????由于P是正交矩陣，P的轉置? ，因此，有：
????????
? ? ? ? ?將M代回到E(u,v),可以得到：
? ? ? ??
? ? ? ? 根據(jù)矩陣的轉置運算規(guī)則：,可以知道：
????????
? ? ? ? 假設[u,v]P的結果是[u',v'],則有：
????????
? ? ? ? ?將這個式子展開，有：
????????
? ? ? ? 可以看到，最終得到的式子其實表示的是橢圓的方程。標準橢圓方程為：
????????
? ? ? ? 可以將前面式子的和對應于和,因此這個橢圓的兩個軸的長度分別對應于和。這兩個數(shù)就是harris角點檢測的文章中常常會看到的橢圓的兩個軸的參數(shù)：
? ? ? ? 結合角點檢測原理和推導出橢圓方程來看，如果是角點，則E(u,v)的值要大，對應和也必須同時都大才能滿足。因此我們就知道了下面這幅圖的含義：
? ? ? ? ?對于平坦區(qū)域：E(u,v)值非常小，對應和也會很小。
? ? ? ? 對于邊緣：E(u,v)值比平坦區(qū)域大，但沒有角點的E(u,v)值大，此時要么比大很多，要么反過來。
? ? ? ? 對于角點：E(u,v)值很大，和都比較大，并且兩者接近。?
響應函數(shù)R
? ? ? ? 前面我們基本知道了Harris角點檢測的基本原理和推導過程，如果直接使用前面的結論來做檢測，理論上是可以的。但是會有一件麻煩事，就是求M矩陣的特征值和。有沒有比較好的辦法不用求它們的值，通過矩陣的一些性質就能估算出和的關系呢？答案是有，發(fā)明算法的兩位大神想到了對稱矩陣的行列式detM以及矩陣的跡和、之間的關系：
? ? ? ? 對矩陣M求行列式值和矩陣的跡的運算顯然比計算出特征值要來得簡單高效。?那么最終每個像素的像素點響應R被定義為：
? ? ? ? 當k取的數(shù)值比較合適的時候，這個R響應函數(shù)就能較好的反映出和之間的關系。
? ? ? ? k是一個經(jīng)驗值，取值一般在（0.04-0.06）。k值越大，會降低角點檢測的靈敏度，減少檢測角點的數(shù)量；減少k值，會增加角點檢測的靈敏度，增加檢測角點的數(shù)量。
? ? ? ? 對于是否是焦點的判斷，最終就是判斷R的值：
- 角點——R為大數(shù)值正數(shù)
- 邊緣——為大數(shù)值負數(shù)
- 平坦區(qū)——為小數(shù)值
????????Harris角點檢測具有旋轉不變性，但不具有尺度不變性。
????????Harris角點檢測的穩(wěn)定性和 k 值有關，而 k 是個經(jīng)驗值，不好設定最佳值。
Shi-Tomasi 角點檢測
????????Shi-Tomasi 角點檢測改進了Harris角點檢測算法的R響應函數(shù)，R響應函數(shù)更加簡單高效。
????????Shi-Tomasi 發(fā)現(xiàn)角點的穩(wěn)定性其實和矩陣 M 的較小特征值有關，于是直接用較小的那個特征值作為分數(shù)。這樣就不用調整k值了。如果矩陣M的兩個特征值中較小的那一個大于設定的閾值，那么這個點是角點；如果兩個特征值都小于閾值，那較小的特征值也必定小于閾值，那這個點就是平坦區(qū)域的點；如果其中一個特征值大于閾值而另外一個特征值小于閾值，那么這個點就是邊緣點。所以我們只需要判斷矩陣M的兩個特征值中較小的那一個特征值是否是大于閾值，如果大于閾值這個點就是強角點。
關于相關線性代數(shù)知識比如實對稱矩陣的正交對角化和矩陣的行列式、特征值和跡相關內容，可以參考這里：
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角點檢測harris corner公式推導詳解_harris角點推導_WorstCoder的博客-CSDN博客
?Harris角點檢測原理推導過程_ha_lee的博客-CSDN博客文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-513865.html
計算機視覺——harris角點檢測之harris角點響應函數(shù)R_-wshuhu-的博客-CSDN博客文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-513865.html
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