一、EM算法的介紹

1.什么是EM算法？

EM算法（Expectation-Maximization algorithm）是一種迭代算法，用于求解含有隱變量（latent variable）的概率模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。它是一個(gè)基礎(chǔ)算法，是很多機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域算法的基礎(chǔ)，比如隱式馬爾科夫算法（HMM）等等。它被廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)中，特別是在無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)中，如聚類、混合高斯模型等問(wèn)題。

EM算法的目標(biāo)是通過(guò)迭代優(yōu)化的方式，最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)（或最大化似然函數(shù)的對(duì)數(shù)），從而估計(jì)模型的參數(shù)。在這個(gè)過(guò)程中，存在隱變量，即一些無(wú)法直接觀測(cè)到的變量。EM算法通過(guò)迭代的方式，通過(guò)先計(jì)算隱變量的期望（E步驟），然后調(diào)整模型參數(shù)以最大化似然函數(shù)（M步驟），不斷更新參數(shù)估計(jì)值。

2.EM算法的計(jì)算步驟

1. 初始化模型參數(shù)。
2. E步驟（Expectation Step）：根據(jù)當(dāng)前參數(shù)估計(jì)值，計(jì)算隱變量的后驗(yàn)概率或期望。
3. M步驟（Maximization Step）：利用E步驟計(jì)算得到的隱變量的期望，更新模型參數(shù)，最大化似然函數(shù)。
4. 重復(fù)執(zhí)行E步驟和M步驟，直到滿足停止條件（如達(dá)到最大迭代次數(shù)或參數(shù)收斂）。
5. 輸出最終的參數(shù)估計(jì)值。

EM算法的關(guān)鍵在于在E步驟中計(jì)算隱變量的期望，以及在M步驟中通過(guò)最大化似然函數(shù)來(lái)更新模型參數(shù)。這種迭代的過(guò)程可以逐步提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，從而得到更好的模型擬合結(jié)果。

3.什么是極大似然估計(jì)？

極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是一種參數(shù)估計(jì)方法，用于從觀測(cè)數(shù)據(jù)中估計(jì)出最有可能產(chǎn)生這些觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型參數(shù)。它基于概率論的思想，假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)是從某個(gè)概率分布中獨(dú)立地抽取得到的，并且通過(guò)最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)來(lái)確定模型的參數(shù)值。

具體而言，假設(shè)我們有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，要估計(jì)的是概率分布的參數(shù)（如均值、方差等）。極大似然估計(jì)的目標(biāo)是找到能夠使得觀測(cè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)概率最大化的參數(shù)值。

假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為 X = {x?, x?, …, x?}，概率分布的參數(shù)為 θ。觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù) L(θ|X) 表示在給定參數(shù)值 θ 下，觀測(cè)數(shù)據(jù) X 出現(xiàn)的概率。MLE的目標(biāo)是找到最大化似然函數(shù)的參數(shù)值，即使得 L(θ|X) 最大的 θ。

通常情況下，為了方便計(jì)算，我們對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)。因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，最大化似然函數(shù)等價(jià)于最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)。因此，MLE的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為找到最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)的參數(shù)值。

一旦得到最大化似然函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值，就可以使用這些參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)或其他進(jìn)一步的分析。

4.極大似然估計(jì)公式

給定獨(dú)立同分布的觀測(cè)數(shù)據(jù) X?, X?, …, X?，來(lái)自于具有參數(shù) θ 的概率分布，極大似然估計(jì)（Maximum Likelihood Estimation，MLE）的公式可以表示為：

似然函數(shù) L(θ) 定義為觀測(cè)數(shù)據(jù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)（或概率質(zhì)量函數(shù)）：

L(θ) = f(X?; θ) * f(X?; θ) * … * f(X?; θ)

其中 f(X?; θ) 表示觀測(cè)數(shù)據(jù) X? 的概率密度函數(shù)（或概率質(zhì)量函數(shù)）。

通常使用對(duì)數(shù)似然函數(shù)來(lái)替代似然函數(shù)，以便于計(jì)算和優(yōu)化。對(duì)數(shù)似然函數(shù)定義為似然函數(shù)的自然對(duì)數(shù)：

log L(θ) = log(f(X?; θ)) + log(f(X?; θ)) + … + log(f(X?; θ))

極大似然估計(jì)的目標(biāo)是找到最大化似然函數(shù)（或?qū)?shù)似然函數(shù)）的參數(shù)值 θ?。換句話說(shuō)：

θ? = argmax L(θ) 或 θ? = argmax log L(θ)

可以通過(guò)對(duì)似然函數(shù)（或?qū)?shù)似然函數(shù)）對(duì)參數(shù) θ 求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零，然后解方程得到 θ?。在某些情況下，可以使用數(shù)值優(yōu)化方法來(lái)找到最大似然估計(jì)。

最大似然估計(jì) θ? 被認(rèn)為是對(duì)于給定觀測(cè)數(shù)據(jù)和假設(shè)的概率分布，最好的參數(shù)估計(jì)值。它提供了一個(gè)使得觀測(cè)數(shù)據(jù)在指定模型下似然最大化的點(diǎn)估計(jì)。

5.極大似然估計(jì)的案例

假設(shè)我們有一枚硬幣，我們想要估計(jì)這枚硬幣正面朝上的概率 p。我們進(jìn)行了一系列的投擲實(shí)驗(yàn)，記錄下每次投擲的結(jié)果，1 表示正面朝上，0 表示反面朝上。我們得到了一組觀測(cè)數(shù)據(jù) X = {1, 0, 1, 1, 0, 1}。

在這個(gè)例子中，我們假設(shè)每次投擲是獨(dú)立的，并且符合二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是一種離散概率分布，表示在 n 次獨(dú)立的二元試驗(yàn)中成功的次數(shù)，其中每次試驗(yàn)的成功概率為 p。

現(xiàn)在，我們的目標(biāo)是通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù) X 來(lái)估計(jì)硬幣正面朝上的概率 p。我們可以使用極大似然估計(jì)來(lái)找到最有可能產(chǎn)生這些觀測(cè)數(shù)據(jù)的參數(shù)值。

假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù) X 的長(zhǎng)度為 n，其中正面朝上的次數(shù)為 m。那么，觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)為：

L(p|X) = p^m * (1-p)^(n-m)

我們的目標(biāo)是找到使得似然函數(shù) L(p|X) 最大化的 p 值。為了方便計(jì)算，我們通常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

log L(p|X) = m * log§ + (n-m) * log(1-p)

現(xiàn)在，我們的任務(wù)是找到最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)的 p 值。這可以通過(guò)求導(dǎo)或者通過(guò)觀察函數(shù)的形狀來(lái)得到。對(duì)于二項(xiàng)分布的情況，我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)似然函數(shù)在 p = m/n 處取得最大值。

因此，通過(guò)極大似然估計(jì)，我們得到了硬幣正面朝上的概率 p 的估計(jì)值為 m/n，其中 m 是觀測(cè)數(shù)據(jù)中正面朝上的次數(shù)，n 是觀測(cè)數(shù)據(jù)的總數(shù)。

通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們可以看到極大似然估計(jì)的基本思想：尋找能夠最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)的似然函數(shù)（或?qū)?shù)似然函數(shù)）的參數(shù)值，從而估計(jì)出最有可能產(chǎn)生這些觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，極大似然估計(jì)可以應(yīng)用于更復(fù)雜的概率模型和更多的觀測(cè)數(shù)據(jù)，用于參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)推斷。

二、HMM模型的介紹

1.馬爾科夫鏈

在機(jī)器學(xué)習(xí)中，馬爾科夫鏈（Markov Chain）是個(gè)很重要的概念。馬爾科夫鏈（Markov Chain），又稱離散時(shí)間馬爾科夫鏈（discrete-time Markov chain），因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名。

馬爾科夫鏈（Markov Chain）是一種數(shù)學(xué)模型，用于描述具有馬爾科夫性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程。馬爾科夫性質(zhì)指的是在給定當(dāng)前狀態(tài)的情況下，未來(lái)狀態(tài)的概率只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，而與過(guò)去狀態(tài)無(wú)關(guān)。

馬爾科夫鏈由一組狀態(tài)和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率組成。每個(gè)狀態(tài)代表系統(tǒng)或過(guò)程可能處于的一個(gè)特定情況，轉(zhuǎn)移概率表示在某個(gè)狀態(tài)下，系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率。

馬爾科夫鏈的特點(diǎn)是具有無(wú)記憶性，即未來(lái)狀態(tài)的概率只取決于當(dāng)前狀態(tài)，與過(guò)去的狀態(tài)序列無(wú)關(guān)。這意味著馬爾科夫鏈的演化過(guò)程是按照一步一步的轉(zhuǎn)移進(jìn)行的，每一步的轉(zhuǎn)移僅依賴于當(dāng)前狀態(tài)。

馬爾科夫鏈的數(shù)學(xué)表示為：

既然某一時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率只依賴前一個(gè)狀態(tài)，那么只需要求出系統(tǒng)中任意兩個(gè)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率，這個(gè)馬爾科夫鏈的模型就定了。

馬爾科夫鏈在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，包括自然語(yǔ)言處理、圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等。通過(guò)對(duì)馬爾科夫鏈進(jìn)行建模和分析，可以研究系統(tǒng)的狀態(tài)演化、預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)、計(jì)算平穩(wěn)分布等問(wèn)題。

2.舉例說(shuō)明馬爾科夫鏈

當(dāng)我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的天氣模型時(shí)，我們可以將天氣分為兩種狀態(tài)：晴天（Sunny）和雨天（Rainy）。我們將這兩種狀態(tài)作為馬爾科夫鏈的狀態(tài)。

假設(shè)我們有以下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 P：

       Sunny    Rainy
Sunny   0.8      0.2
Rainy   0.4      0.6

這意味著在晴天的情況下，下一天是晴天的概率為 0.8，是雨天的概率為 0.2。同樣，在雨天的情況下，下一天是晴天的概率為 0.4，是雨天的概率為 0.6。

假設(shè)我們的初始狀態(tài)概率分布為：

• 初始天氣為晴天的概率為 0.6，為雨天的概率為 0.4。

現(xiàn)在，可以使用這些信息來(lái)模擬天氣的狀態(tài)。假設(shè)今天是晴天（初始狀態(tài)），我們可以根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算明天的天氣狀態(tài)。

在第一天晴天的情況下，下一天是晴天的概率為 0.8，是雨天的概率為 0.2。因此，明天是晴天的概率為 0.8，是雨天的概率為 0.2。

我們可以繼續(xù)進(jìn)行類似的計(jì)算來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的天氣狀態(tài)。每一天的天氣狀態(tài)僅依賴于前一天的天氣狀態(tài)，而與更早的天氣狀態(tài)無(wú)關(guān)。

這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的馬爾科夫鏈模型，它描述了天氣狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。通過(guò)觀察一系列天氣狀態(tài)，我們可以利用馬爾科夫鏈來(lái)推斷未來(lái)的天氣狀態(tài)或分析天氣狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性。

3.什么是HMM模型？

HMM（Hidden Markov Model）模型是一種統(tǒng)計(jì)模型，用于建模和分析由隱含的狀態(tài)序列生成的可觀測(cè)序列的概率模型。HMM模型假設(shè)系統(tǒng)中存在一個(gè)不可見(jiàn)的狀態(tài)序列，每個(gè)狀態(tài)生成一個(gè)可觀測(cè)的輸出。

HMM模型由兩個(gè)基本部分組成：狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和觀測(cè)概率（輸出概率）

• 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率：描述了在給定狀態(tài)下系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率。
• 觀測(cè)概率（輸出概率）：描述了在給定狀態(tài)下系統(tǒng)生成特定觀測(cè)的概率。

HMM模型需要具備的要素：

1. 狀態(tài)集合：表示系統(tǒng)可能處于的狀態(tài)的集合。
2. 初始狀態(tài)概率分布：表示系統(tǒng)的初始狀態(tài)的概率分布。
3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：描述系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率。
4. 觀測(cè)集合：表示系統(tǒng)可能生成的觀測(cè)的集合。
5. 觀測(cè)概率矩陣：描述系統(tǒng)在給定狀態(tài)下生成特定觀測(cè)的概率。

HMM模型常用于序列數(shù)據(jù)的建模和分析，如語(yǔ)音識(shí)別、自然語(yǔ)言處理、手寫(xiě)識(shí)別等領(lǐng)域。在HMM模型中，通過(guò)觀測(cè)序列來(lái)推斷最可能的狀態(tài)序列，或者根據(jù)狀態(tài)序列生成對(duì)應(yīng)的觀測(cè)序列。

4.什么樣的問(wèn)題需要HMM模型

使用HMM模型時(shí)我們的問(wèn)題一般有這兩個(gè)特征：

1. 我們的問(wèn)題是基于序列的，比如時(shí)間序列，或者狀態(tài)序列。

2. 我們的問(wèn)題中有兩類數(shù)據(jù)：

   1. 一類序列數(shù)據(jù)是可以觀測(cè)到的，即觀測(cè)序列
   2. 另一類數(shù)據(jù)是不能觀測(cè)到的，即隱藏狀態(tài)序列簡(jiǎn)稱狀態(tài)序列

   有了這兩個(gè)特征，那么這個(gè)問(wèn)題一般可以用HMM模型來(lái)嘗試解決。這樣的問(wèn)題在實(shí)際生活中是很多的。

   • 比如：在鍵盤(pán)上敲出來(lái)的一系列字符就是觀測(cè)序列，而我實(shí)際想寫(xiě)的一段話就是隱藏狀態(tài)序列，輸入法的任務(wù)就是從敲入的一系列字符盡可能的猜測(cè)我要寫(xiě)的一段話，并把最可能的詞語(yǔ)放在最前面讓我選擇，這就可以看做一個(gè)HMM模型。

5.HMM模型的兩個(gè)重要假設(shè)

1. 齊次馬爾科夫鏈假設(shè)
   • 即任意時(shí)刻的隱藏狀態(tài)只依賴于它前一個(gè)隱藏狀態(tài)。
     • 當(dāng)然這樣假設(shè)有點(diǎn)極端，因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們的某一個(gè)隱藏狀態(tài)不僅僅只依賴于前一個(gè)隱藏狀態(tài)，可能是前兩個(gè)或者是前三個(gè)。
     • 但是這樣假設(shè)的好處就是模型簡(jiǎn)單，便于求解。
2. 觀測(cè)獨(dú)立性假設(shè)
   • 即任意時(shí)刻的觀察狀態(tài)只僅僅依賴于當(dāng)前時(shí)刻的隱藏狀態(tài)，這也是一個(gè)為了簡(jiǎn)化模型的假設(shè)。

一個(gè)HMM模型，可以由隱藏狀態(tài)初始概率分布π，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A和觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣B決定

6.HMM模型實(shí)例

當(dāng)我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的語(yǔ)音識(shí)別問(wèn)題時(shí)，我們可以使用HMM模型來(lái)建模和解決這個(gè)問(wèn)題。假設(shè)我們有一個(gè)包含三個(gè)狀態(tài)的HMM模型，表示三個(gè)可能的語(yǔ)音信號(hào)：靜音（Silent）、輔音（Consonant）和元音（Vowel）。

目標(biāo)是根據(jù)觀測(cè)到的語(yǔ)音信號(hào)序列，推斷出最可能的隱藏狀態(tài)序列，即最可能的語(yǔ)音信號(hào)類型序列。

假設(shè)我們有以下HMM模型的參數(shù)：

1. 狀態(tài)集合：{Silent, Consonant, Vowel}

2. 初始狀態(tài)概率分布：π = [0.4, 0.3, 0.3]，表示初始時(shí)處于靜音狀態(tài)的概率為 0.4，輔音狀態(tài)的概率為 0.3，元音狀態(tài)的概率為 0.3。

3. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣A：

              Silent     Consonant    Vowel
   Silent      0.6          0.4         0
   Consonant   0.3          0.6        0.1
   Vowel        0           0.4        0.6
   

   這表示在當(dāng)前狀態(tài)下，轉(zhuǎn)移到其他狀態(tài)的概率。

4. 觀測(cè)集合：{A, B, C}，表示觀測(cè)到的語(yǔ)音信號(hào)的集合。

5. 觀測(cè)概率矩陣B：

               A        B        C
   Silent     0.1      0.3      0.6
   Consonant  0.4      0.4      0.2
   Vowel      0.6      0.3      0.1
   

   這表示在給定狀態(tài)下，生成不同觀測(cè)的概率。

假設(shè)我們觀測(cè)到一個(gè)語(yǔ)音信號(hào)序列為 {B, C, A}，我們想要根據(jù)這個(gè)觀測(cè)序列推斷最可能的隱藏狀態(tài)序列。

可以使用維特比算法來(lái)計(jì)算最可能的隱藏狀態(tài)序列。維特比算法使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方式，在每個(gè)時(shí)間步驟上計(jì)算最可能的狀態(tài)序列。

根據(jù)觀測(cè)到的語(yǔ)音信號(hào)序列 {B, C, A}，我們可以計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的最可能狀態(tài)。通過(guò)比較每個(gè)時(shí)間步驟的狀態(tài)概率，可以確定最可能的狀態(tài)序列。

在這個(gè)例子中，根據(jù)維特比算法的計(jì)算，我們可以得到最可能的隱藏狀態(tài)序列為 {Consonant, Vowel, Vowel}。這表示在給定觀測(cè)序列的情況下，最可能的語(yǔ)音信號(hào)類型序列是輔音、元音、元音。

7.HMM模型中，常見(jiàn)的問(wèn)題分類：

1. 評(píng)估問(wèn)題（Evaluation Problem）-----前向后向的概率計(jì)算：給定一個(gè)觀測(cè)序列和模型參數(shù)，計(jì)算觀測(cè)序列出現(xiàn)的概率。也就是說(shuō)，我們需要計(jì)算給定觀測(cè)序列 O 的條件下，模型參數(shù) θ=(A, B, π) 下的 P(O|θ)。
2. 解碼問(wèn)題（Decoding Problem）-----維特比算法求解：給定一個(gè)觀測(cè)序列和模型參數(shù)，找到最可能的隱藏狀態(tài)序列。也就是說(shuō)，我們需要找到使得 P(Q|O, θ) 最大的隱藏狀態(tài)序列 Q，其中 Q 表示隱藏狀態(tài)序列，O 表示觀測(cè)序列，θ 表示模型參數(shù)。
3. 學(xué)習(xí)問(wèn)題（Learning Problem）-----鮑姆-韋爾奇算法求解：給定一個(gè)觀測(cè)序列，通過(guò)對(duì)觀測(cè)序列的觀察來(lái)估計(jì)模型的參數(shù)。也就是說(shuō)，我們需要估計(jì)模型參數(shù) θ=(A, B, π) 的值，使得在給定觀測(cè)序列 O 下的 P(O|θ) 達(dá)到最大。

這三類問(wèn)題在HMM中都具有重要的意義，評(píng)估問(wèn)題用于計(jì)算觀測(cè)序列的概率，解碼問(wèn)題用于推斷最可能的隱藏狀態(tài)序列，學(xué)習(xí)問(wèn)題用于估計(jì)模型參數(shù)。解決這些問(wèn)題的方法包括維特比算法、前向-后向算法、Baum-Welch算法等。

三、前向后向算法評(píng)估觀察序列概率

1.前向算法的基本流程

前向算法本質(zhì)上屬于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的算法，也就是我們要通過(guò)找到局部狀態(tài)遞推的公式，這樣一步步地從子問(wèn)題的最優(yōu)解拓展到整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。前向算法的時(shí)間復(fù)雜度為：O(TN^{2)，暴力求解的時(shí)間復(fù)雜度為：O(TN}T)。

前向算法是用于解決隱馬爾可夫模型（HMM）中的評(píng)估問(wèn)題，即給定一個(gè)觀測(cè)序列和模型參數(shù)，計(jì)算觀測(cè)序列的概率。下面是前向算法的基本流程：

1. 初始化：對(duì)于時(shí)間步驟 t=1，計(jì)算初始狀態(tài)的概率。即計(jì)算每個(gè)狀態(tài) i 的初始概率值，即 π[i] * 觀測(cè)概率矩陣[i, O[1]]，其中 π[i] 是初始狀態(tài)概率分布，O[1] 是觀測(cè)序列中的第一個(gè)觀測(cè)值。
2. 遞推：對(duì)于每個(gè)時(shí)間步驟 t>1，遞歸地計(jì)算每個(gè)狀態(tài) i 的前向概率。具體步驟如下：
   • 對(duì)于每個(gè)狀態(tài) i，在上一個(gè)時(shí)間步驟 t-1 的每個(gè)狀態(tài) j 上計(jì)算概率值。即計(jì)算上一步的前向概率乘以狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和觀測(cè)概率，即 α[t-1, j] * 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[j, i] * 觀測(cè)概率矩陣[i, O[t]]。
   • 將上述計(jì)算結(jié)果累加得到當(dāng)前時(shí)間步驟 t 的前向概率，即 α[t, i] = Σ(α[t-1, j] * 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[j, i] * 觀測(cè)概率矩陣[i, O[t]])。
3. 終止：計(jì)算觀測(cè)序列的概率。將最后一個(gè)時(shí)間步驟的前向概率進(jìn)行累加，即 P(O) = Σ(α[T, i])，其中 T 是觀測(cè)序列的長(zhǎng)度。

通過(guò)前向算法，可以有效計(jì)算出給定觀測(cè)序列的概率。該概率可以用于模型選擇、序列比較等應(yīng)用。

2.前向算法的實(shí)例

假設(shè)我們有一個(gè)隱馬爾可夫模型（HMM），包含三個(gè)隱藏狀態(tài) {A, B, C} 和三個(gè)觀測(cè)值 {1, 2, 3}。給定觀測(cè)序列 O = [1, 2, 3]，我們要計(jì)算該觀測(cè)序列出現(xiàn)的概率。

首先，我們需要定義模型的參數(shù)，包括初始狀態(tài)概率分布 π，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 A，和觀測(cè)概率矩陣 B。假設(shè)參數(shù)如下：

初始狀態(tài)概率分布 π = [0.3, 0.4, 0.3] 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 A = [[0.2, 0.5, 0.3], [0.4, 0.1, 0.5], [0.3, 0.6, 0.1]] 觀測(cè)概率矩陣 B = [[0.6, 0.4, 0.0], [0.1, 0.7, 0.2], [0.3, 0.3, 0.4]]

接下來(lái)，我們可以使用前向算法計(jì)算觀測(cè)序列的概率。

1. 初始化：計(jì)算初始狀態(tài)的概率。根據(jù)初始狀態(tài)概率分布 π 和觀測(cè)序列的第一個(gè)觀測(cè)值 O[1] = 1，我們可以計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的初始概率值：

   • α[1, A] = π[A] * B[A, 1] = 0.3 * 0.6 = 0.18
   • α[1, B] = π[B] * B[B, 1] = 0.4 * 0.1 = 0.04
   • α[1, C] = π[C] * B[C, 1] = 0.3 * 0.3 = 0.09

2. 遞推：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和觀測(cè)概率矩陣，遞歸地計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的前向概率。對(duì)于時(shí)間步驟 t>1，我們可以使用以下公式計(jì)算前向概率：

   • α[t, i] = Σ(α[t-1, j] * A[j, i] * B[i, O[t]])

   根據(jù)上述公式，我們可以計(jì)算出每個(gè)時(shí)間步驟的前向概率：

   • α[2, A] = α[1, A] * A[A, A] * B[A, 2] + α[1, B] * A[B, A] * B[A, 2] + α[1, C] * A[C, A] * B[A, 2] = 0.18 * 0.2 * 0.4 + 0.04 * 0.4 * 0.4 + 0.09 * 0.3 * 0.4 = 0.0468
   • α[2, B] = α[1, A] * A[A, B] * B[B, 2] + α[1, B] * A[B, B] * B[B, 2] + α[1, C] * A[C, B] * B[B, 2] = 0.18 * 0.5 * 0.7 + 0.04 * 0.1 * 0.7 + 0.09 * 0.6 * 0.7 = 0.0804
   • α[2, C] = α[1, A] * A[A, C] * B[C, 2] + α[1, B] * A[B, C] * B[C, 2] + α[1, C] * A[C, C] * B[C, 2] = 0.18 * 0.3 * 0.0 + 0.04 * 0.5 * 0.0 + 0.09 * 0.1 * 0.0 = 0.0
   • α[3, A] = α[2, A] * A[A, A] * B[A, 3] + α[2, B] * A[B, A] * B[A, 3] + α[2, C] * A[C, A] * B[A, 3] = …
   • α[3, B] = …
   • α[3, C] = …

3. 終止：計(jì)算觀測(cè)序列的概率。將最后一個(gè)時(shí)間步驟的前向概率進(jìn)行累加，即 P(O) = Σ(α[T, i])，其中 T 是觀測(cè)序列的長(zhǎng)度。

通過(guò)以上計(jì)算，我們可以得到觀測(cè)序列 O = [1, 2, 3] 的概率 P(O)。在本例中，通過(guò)前向算法計(jì)算得到的觀測(cè)序列的概率為 P(O) = α[3, A] + α[3, B] + α[3, C] = 0.0648 + 0.1044 + 0.0 = 0.1692。

3.后向算法的基本流程

后向算法用于計(jì)算給定觀測(cè)序列的概率。下面是后向算法的流程：

1. 初始化：將所有時(shí)間步驟的后向概率初始化為1，即 β[T, i] = 1，其中 T 是觀測(cè)序列的長(zhǎng)度。

2. 遞推：從倒數(shù)第二個(gè)時(shí)間步驟開(kāi)始，遞歸地計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的后向概率。對(duì)于時(shí)間步驟 t<T，可以使用以下公式計(jì)算后向概率：

   • β[t, i] = Σ(β[t+1, j] * A[i, j] * B[j, O[t+1]])

   根據(jù)上述公式，我們可以計(jì)算出每個(gè)時(shí)間步驟的后向概率：

   • β[T-1, A] = β[T, A] * A[A, A] * B[A, O[T]] + β[T, B] * A[A, B] * B[B, O[T]] + β[T, C] * A[A, C] * B[C, O[T]] = …
   • β[T-1, B] = …
   • β[T-1, C] = …
   • β[T-2, A] = β[T-1, A] * A[A, A] * B[A, O[T-1]] + β[T-1, B] * A[A, B] * B[B, O[T-1]] + β[T-1, C] * A[A, C] * B[C, O[T-1]] = …
   • β[T-2, B] = …
   • β[T-2, C] = …

   依此類推，遞推計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的后向概率。

3. 終止：計(jì)算觀測(cè)序列的概率。將初始狀態(tài)概率分布與第一個(gè)時(shí)間步驟的觀測(cè)概率矩陣相乘，再與第一個(gè)時(shí)間步驟的后向概率向量相乘，即可得到觀測(cè)序列的概率：

   • P(O) = Σ(π[i] * B[i, O[1]] * β[1, i])

通過(guò)以上計(jì)算，我們可以得到觀測(cè)序列 O 的概率 P(O)。

四、維特比算法解碼隱藏狀態(tài)序列

1.維特比算法的基本流程

維特比算法是一個(gè)通用的求序列最短路徑的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，也可用于很多其他問(wèn)題。

維特比算法用于解碼隱藏狀態(tài)序列，即找到最可能的隱藏狀態(tài)序列。下面是維特比算法的流程：

1. 初始化：將初始時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率初始化為1，即 δ[1, i] = π[i]，其中 π 是初始狀態(tài)概率分布。

2. 遞推：從第二個(gè)時(shí)間步驟開(kāi)始，遞歸地計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑。對(duì)于時(shí)間步驟 t>1，可以使用以下公式計(jì)算最大概率路徑：

   • δ[t, j] = max(δ[t-1, i] * A[i, j] * B[j, O[t]])，其中 i 是前一個(gè)時(shí)間步驟的隱藏狀態(tài)，j 是當(dāng)前時(shí)間步驟的隱藏狀態(tài)。

   根據(jù)上述公式，我們可以計(jì)算出每個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑：

   • δ[2, A] = max(δ[1, A] * A[A, A] * B[A, O[2]], δ[1, B] * A[B, A] * B[A, O[2]], δ[1, C] * A[C, A] * B[A, O[2]]) = …
   • δ[2, B] = …
   • δ[2, C] = …
   • δ[3, A] = max(δ[2, A] * A[A, A] * B[A, O[3]], δ[2, B] * A[B, A] * B[A, O[3]], δ[2, C] * A[C, A] * B[A, O[3]]) = …
   • δ[3, B] = …
   • δ[3, C] = …

   依此類推，遞推計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑。

3. 終止：找到最后一個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑。最終的隱藏狀態(tài)序列是具有最大概率路徑的隱藏狀態(tài)序列。

通過(guò)以上計(jì)算，我們可以找到最可能的隱藏狀態(tài)序列。

2.維特比算法的實(shí)例

假設(shè)我們有一個(gè)隱馬爾可夫模型（HMM），其中隱藏狀態(tài)是晴天（Sunny）和雨天（Rainy），觀測(cè)狀態(tài)是散步（Walk）和購(gòu)物（Shop）。我們的目標(biāo)是根據(jù)觀測(cè)序列來(lái)解碼隱藏狀態(tài)序列。

給定以下參數(shù)和觀測(cè)序列：

隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 A：

      Sunny  Rainy
Sunny  0.7    0.3
Rainy  0.4    0.6

觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣 B：

      Walk  Shop
Sunny  0.8   0.2
Rainy  0.3   0.7

初始狀態(tài)概率分布 π：

Sunny  0.6
Rainy  0.4

觀測(cè)序列 O：Walk, Walk, Shop

現(xiàn)在我們將使用維特比算法來(lái)解碼隱藏狀態(tài)序列。

1. 初始化：將初始時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率初始化為1，即 δ[1, i] = π[i]。
2. 遞推：從第二個(gè)時(shí)間步驟開(kāi)始，遞歸地計(jì)算每個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑。
   • 對(duì)于時(shí)間步驟 t=2：
     • δ[2, Sunny] = max(δ[1, Sunny] * A[Sunny, Sunny] * B[Sunny, Walk], δ[1, Rainy] * A[Rainy, Sunny] * B[Sunny, Walk]) = 0.6 * 0.7 * 0.8 = 0.336
     • δ[2, Rainy] = max(δ[1, Sunny] * A[Sunny, Rainy] * B[Rainy, Walk], δ[1, Rainy] * A[Rainy, Rainy] * B[Rainy, Walk]) = 0.6 * 0.3 * 0.3 = 0.054
   • 對(duì)于時(shí)間步驟 t=3：
     • δ[3, Sunny] = max(δ[2, Sunny] * A[Sunny, Sunny] * B[Sunny, Shop], δ[2, Rainy] * A[Rainy, Sunny] * B[Sunny, Shop]) = 0.336 * 0.7 * 0.2 = 0.04704
     • δ[3, Rainy] = max(δ[2, Sunny] * A[Sunny, Rainy] * B[Rainy, Shop], δ[2, Rainy] * A[Rainy, Rainy] * B[Rainy, Shop]) = 0.336 * 0.3 * 0.7 = 0.07056
3. 終止：找到最后一個(gè)時(shí)間步驟的最大概率路徑的概率和路徑。
   • 最后一個(gè)時(shí)間步驟是 t=3：
     • 最大概率路徑的概率是 max(δ[3, Sunny], δ[3, Rainy]) = max(0.04704, 0.07056) = 0.07056
     • 當(dāng)時(shí)間步驟為3時(shí)，最大概率路徑對(duì)應(yīng)的隱藏狀態(tài)是 Rainy
   • 時(shí)間步驟是 t=2：
     • 最大概率路徑的概率是 max(δ[2, Sunny], δ[2, Rainy]) = max(0.336, 0.054)
     • 當(dāng)時(shí)間步驟為2時(shí)，最大概率路徑對(duì)應(yīng)的隱藏狀態(tài)是 Sunny
   • 時(shí)間步驟是 t=1：
     • 最大概率路徑的概率是 max(δ[1, Sunny], δ[1, Rainy] = max(0.6, 0.4)
     • 當(dāng)時(shí)間步驟為1時(shí)。最大概率路徑對(duì)應(yīng)的隱藏狀態(tài)是 Sunny

因此，根據(jù)觀測(cè)序列 Walk, Walk, Shop，使用維特比算法解碼得到的最可能的隱藏狀態(tài)序列是 Sunny, Sunny, Rainy。

五、鮑姆-韋爾奇算法簡(jiǎn)介

1.鮑姆-韋爾奇算法的基本流程

鮑姆-韋爾奇算法，其實(shí)就是基于EM算法的求解，只不過(guò)鮑姆-韋爾奇算法出現(xiàn)的時(shí)代，EM算法還沒(méi)有被抽象出來(lái)，所以被叫為鮑姆-韋爾奇算法。

鮑姆-韋爾奇算法（Baum-Welch algorithm）是用于無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)的隱馬爾可夫模型（HMM）參數(shù)估計(jì)的一種算法。其基本流程如下：

1. 初始化：隨機(jī)初始化隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 A、觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣 B、初始狀態(tài)概率分布 π，或者使用先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行初始化。
2. E步驟（Expectation step）：
   • 使用前向算法計(jì)算在當(dāng)前參數(shù)下觀測(cè)序列的前向概率 α 和后向概率 β。
   • 使用 α 和 β 計(jì)算在每個(gè)時(shí)間步驟 t 和隱藏狀態(tài) i 下，隱藏狀態(tài)為 i 的概率作為后驗(yàn)概率 γ。
3. M步驟（Maximization step）：
   • 使用觀測(cè)序列和后驗(yàn)概率 γ 更新隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 A、觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣 B、初始狀態(tài)概率分布 π。
   • 計(jì)算在當(dāng)前參數(shù)下觀測(cè)序列的似然函數(shù)，并檢查是否達(dá)到收斂條件。如果未達(dá)到收斂條件，則返回第2步。
4. 重復(fù)第2步和第3步，直到達(dá)到收斂條件（例如，參數(shù)變化小于給定閾值）或達(dá)到最大迭代次數(shù)。

最終，鮑姆-韋爾奇算法通過(guò)迭代優(yōu)化參數(shù)，使得隱馬爾可夫模型的參數(shù)逼近最優(yōu)值，從而更好地描述觀測(cè)數(shù)據(jù)的生成過(guò)程。

六、HMM模型API介紹

1.API的安裝

pip3 install hmmlearn

2.hmmlearn介紹

hmmlearn實(shí)現(xiàn)了三種HMM模型類，按照觀測(cè)狀態(tài)是連續(xù)狀態(tài)還是離散狀態(tài)，可分為兩類。

GaussianHMM 和 GMMHMM 是連續(xù)觀測(cè)狀態(tài)的 HMM 模型，而 MultinomialHMM 和 CategoricalHMM 是離散觀測(cè)狀態(tài)的模型，也是我們?cè)贖MM原理系列篇里使用的模型。

對(duì)于 CategoricalHMM 的模型，使用比較簡(jiǎn)單，文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-474203.html

• “startprob_”：對(duì)應(yīng)我們的隱藏狀態(tài)初始分布 π。
• “transmat_”：對(duì)應(yīng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A。
• “emissionprob_”：對(duì)應(yīng)觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣B。
• “n_features”：觀測(cè)序列的種類

3.CategoricalHMM 代碼實(shí)例

import numpy as np
from hmmlearn import hmm

# 設(shè)定隱藏狀態(tài)的集合
states = ["box1", "box2", "box3"]
n_states = len(states)

# 設(shè)定觀測(cè)狀態(tài)的集合
observations = ["red", "white"]
n_observations = len(observations)

# 設(shè)定初始狀態(tài)概率分布 π
start_probability = np.array([0.2, 0.4, 0.4])

# 設(shè)定隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 A
transition_probability = np.array([
    [0.5, 0.2, 0.3],
    [0.3, 0.5, 0.2],
    [0.2, 0.3, 0.5]])

# 設(shè)定觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣 B
emission_probability = np.array([
    [0.5, 0.5],
    [0.4, 0.6],
    [0.7, 0.3]])

# 設(shè)定參數(shù)模型
model = hmm.CategoricalHMM(n_components=n_states)

# 設(shè)定初始狀態(tài)概率分布
model.startprob_ = start_probability

# 設(shè)定隱藏狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A
model.transmat_ = transition_probability

# 設(shè)定觀測(cè)狀態(tài)概率矩陣B
model.emissionprob_ = emission_probability

# 設(shè)定觀測(cè)序列的種類
model.n_features = n_observations

# 設(shè)定觀測(cè)序列，根據(jù)維特比算法解碼隱藏狀態(tài)序列
seen = np.array([[0, 1, 0, 1, 1]]).T

# 將觀測(cè)序列轉(zhuǎn)化成 red white 形式
tran_seen = [observations[x] for x in seen.flatten()]
tran_seen = ",".join(tran_seen)
print("球的觀測(cè)序列為：\n",tran_seen)

# 維特比模型訓(xùn)練，解碼隱藏狀態(tài)序列
box = model.predict(seen)
tran_box = ",".join([states[x] for x in box])
print("盒子最可能的隱藏狀態(tài)序列為：\n",tran_box)

到了這里，關(guān)于EM算法和HMM模型的介紹的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！