今天給大家分享一個新的統(tǒng)計方法，叫做響應(yīng)面分析，響應(yīng)面分析是用來探究變量一致性假設(shè)的（Congruence hypotheses）。本身是一個工程學(xué)方法，目前在組織行為學(xué)，管理，市場營銷等等領(lǐng)域中使用越來越多。

Congruence hypotheses state that the agreement (i.e., congruence) between two constructs should positively (or negatively) affect some outcome variable. Such hypotheses play a central role in many disciplines, for example, Marketing (Kim & Hsieh, 2003), Organizational Behavior (Cani?ls & Veld, 2019), and Purchasing (Cani?ls, Vos, Schiele, & Pulles, 2018).

響應(yīng)面分析尤其是在探究一致性和不一致性作用的時候是最佳選擇，就是說比如你有兩個自變量，一個因變量，你想看看如果這兩個自變量都同時一致性變化（同時增大或減?。┖屯瑫r不一致變化（一個增大另一個減小）的情況下，因變量如何變化。這個時候一定記得使用響應(yīng)面分析。

response surface analysis (RSA) is an approach that allows examining the extent to which combinations of two predictive variables relate to one outcome variable. The method is particularly interesting in cases where (in)congruence between the two predictive variables is a central consideration of the study.

一致性假設(shè)的檢驗需要涉及到多項式回歸，而響應(yīng)面分析的優(yōu)勢在于可以其可以將多項式回歸的結(jié)果用3D畫出來，從而使得我們看清楚各種自變量組合情形下因變量的變化情況。并且通過多項式的系數(shù)情況對相應(yīng)假設(shè)進行證明。

The foundation of RSA is the visualization of the results of the regression equation on a three-dimensional graph . Instead of directly interpreting the results of the polynomial regression analysis, the coefficients are used to examine what is called a ‘response surface pattern’ . The response surface is a graph that provides a three-dimensional visual representation of the data to aid interpretation

并且響應(yīng)面分析還可以檢驗交互，且不受線性假設(shè)限制，今天結(jié)合兩篇比較有意思的文獻給大家分享響應(yīng)面分析的理解和具體做法。

理論理解

想想如果你不知道響應(yīng)面分析，你想研究兩個變量的不一致對結(jié)局的影響你會怎么做？比如你想研究父母期望x1和兒童興趣x2對兒童成就y的影響，想要驗證是不是父母期望和兒童興趣的一致性越強，將來兒童的成就越高？你怎么做?

計算一個新變量？x1-x2再取個絕對值，作為新的自變量，叫做兩者差距？用這個新變量去做y的回歸分析？

估計大部分同學(xué)首先想到的就是這么樣操作。

這里面有兩個問題：1是信息丟失了；2是你不能知道同一個效果到底是x1比x2大造成的，還是x2比x1大造成的。

Initially, these approaches compute two predictor variables into a single score, which reduces the available information. For this reason, the difference scores confuse the effects of each of the component measures on the result. The difference scores do not tell us the extent to which each of the component measures contributes to the outcome variable

所以說這個想法就不好，不能說不對哈，只能說不好。

此時最正確的方法就是使用多項式回歸：

?

上面的式子中xy為兩個自變量，Z是因變量，式子中還有xy的2次項，對于這么一個式子我們可以對其圖形化表達

?

圖中兩個自變量在xy軸上，因變量或者叫模型的響應(yīng)值在z軸上，這樣所有xy組合取值對應(yīng)的模型響應(yīng)值便成了一個曲面，叫做響應(yīng)面。

比如對應(yīng)特定的xy在底面對應(yīng)的圈圈，其對應(yīng)的Z值就是響應(yīng)面上的星星。

看圖的時候有兩條線值得我們格外關(guān)注：圖中的一致性線Line of congruence (LOC)和不一致線Line of incongruence (LOIC)

• 一致性線

一致性線就是所有xy相等的點組成的線，就是xy平面上的一條45°線，這條線對應(yīng)的響應(yīng)面就表示一致性變化時z值的變化。在圖中就是上圖中的紅線對應(yīng)的響應(yīng)面，可以看到在xy一致的時候Z值始終是最大的。

• 不一致線

不一致線就是所有xy互為相反數(shù)的點組成的直線，就是xy平面上和一致性線垂直的線，在上圖中就是xy平面上的藍色的線，可以看到xy的差距越大，Z的值越低。

通過這么一種可視化的表達，我們就可以非常容易的知曉xy所有變化情況下，Z的具體變化情況。

并且結(jié)合多項式模型的系數(shù)情況我們還可以對相應(yīng)的假設(shè)進行檢驗

我們回到一致性線所對應(yīng)的響應(yīng)面，在這個響應(yīng)面上x=y，Z的表達式就成了一個二次函數(shù)：

Z = a1X + a2X2，其中a1 = b1 + b2 and a2 = b3 + b4 + b5

系數(shù)a2決定了對應(yīng)的響應(yīng)面是直線還是曲線，a1就決定了對應(yīng)的響應(yīng)面的斜率。

再看不一致線所對應(yīng)的響應(yīng)面，在這個響應(yīng)面上x=-y，Z的表達式也是一個二次函數(shù)：

Z = a3X + a4X2，其中a3 = b1-b2 and a4 = b3-b4 + b5

系數(shù)a4決定了對應(yīng)的響應(yīng)面是直線還是曲線，a3就決定了對應(yīng)的響應(yīng)面的斜率

根據(jù)系數(shù)的不同組合反應(yīng)在圖中就有響應(yīng)面的不同的形狀：看下圖，比如a1>0（一致性線對應(yīng)的Z值為斜率向上的直線），a4<0（非一致性線對應(yīng)的響應(yīng)面為開口向下的曲線）的時候?qū)?yīng)的圖就是下面A圖；比如a2和a4都<0時兩條線對應(yīng)的響應(yīng)面都為開口朝下的曲線，整個響應(yīng)面的形狀就是下面D圖：等等：

?

通過上面介紹的系數(shù)我們就可以對相應(yīng)假設(shè)進行驗證，接著往下我們來看兩篇實際例文。

一篇文獻名如下：

Bai, Q., Lei, L., Hsueh, F. H., Yu, X., Hu, H., Wang, X., & Wang, P. (2020). Parent-adolescent congruence in phubbing and adolescents’ depressive symptoms: A moderated polynomial regression with response surface analyses. Journal of Affective Disorders, 275, 127-135.

文章做了低頭族這一行為習(xí)慣對抑郁發(fā)生的影響，同時考慮了父母低頭和孩子低頭，在形成了多項式回歸模型后，選取變量進行了響應(yīng)面分析，主要結(jié)果長這樣：

?

作者把關(guān)心的兩個自變量一個是父母低頭，另一個是孩子自己低頭，放在xy軸上；把因變量孩子抑郁放在z軸上，通過這樣一種圖形化表示就可以看得出來，x和y一致增大的時候和xy變化不一致的時候抑郁的變化，從而回答研究問題。

結(jié)果呈現(xiàn)上作者報告了一致性線的系數(shù)和p值，從而回答假設(shè)4：

?

就是一致性線的斜率是顯著的正值，就意味著家長和孩子都是低頭族（一致性的低頭）孩子抑郁風(fēng)險會增大。同時還有不一致性線的系數(shù)也是同理理解。

作者通過這么一個分析還檢驗了調(diào)節(jié)作用，方法部分的原文敘述見下圖，用的方法叫做hierarchical regression analysis：

?

就是嵌套幾個回歸，然后比較模型的R方從而數(shù)據(jù)驅(qū)動的角度判斷交互項是不是應(yīng)該存在。原理在于：加上交互項后R方顯著變大，說明交互項的加入可以顯著地增大模型的解釋力度。

再看一篇管理學(xué)領(lǐng)域的文章：

Lee, K., Woo, H. G., & Joshi, K. (2017). Pro-innovation culture, ambidexterity and new product development performance: Polynomial regression and response surface analysis. European Management Journal, 35(2), 249-260.

在驗證下面兩個假設(shè)的時候文章使用了響應(yīng)面分析：

NPD performance will increase as both exploitation and exploration increase simultaneously.

NPD performance will decrease as the imbalance between exploitation and exploration increases in either direction.

依然是探討兩個自變量變化趨勢的一致和不一致問題，作者給了圖和表格來回答研究假設(shè)：

?

?

原文中假設(shè)5的意思是兩個自變量同時變大的情況下，因變量也會隨之增大，為了驗證這個假設(shè)，文章是令將原來的多項式回歸中的兩個自變量相等，簡化方程后看回歸系數(shù)，回歸方程簡化后就是一個二次函數(shù)了，此時滿足假設(shè)5的條件就是二次項的系數(shù)得為0（二次項得不顯著，不然函數(shù)是個曲線，就不滿足假設(shè)5因變量一直增長的假設(shè)，請回憶初中二次函數(shù)的知識點）然后一次項得是負值。

也就是上表中b1+b2得是正的，然后b3+b4+b5得不顯著，因為第二個條件不滿足所以作者得到了假設(shè)5不成立的結(jié)論。

同理，假設(shè)6認為，兩個自變量不一致的情況下，因變量會變小，為了驗證這個假設(shè)，文章是令兩個自變量為相反數(shù)，此時要滿足假設(shè)6的條件就需要，簡化后的方程的一次項系數(shù)應(yīng)該為顯著的負值，二次項應(yīng)該為0或顯著負值。

也就是上表中b1-b2應(yīng)該為顯著負值，然后b3-b4+b5應(yīng)該為0或負值，因為兩個條件都不滿足所以作者得到假設(shè)6不成立的結(jié)論。

?

通過這樣的一圖一表，文章就完成了對研究問題的回答。以上就是響應(yīng)面分析的兩個例文的簡要介紹，詳細寫作請自己扒拉原文瞅瞅。我們接著看做法。

做法步驟

spss是可以做響應(yīng)面分析的哈，不過我們依然只寫用R的方法，做響應(yīng)面分析步驟有二：

conceptually RSA is divided into two stages: (a) running a polynomial regression model and (b) using the results of the model to generate a response surface and analyze the importance of the effects

在R中做響應(yīng)面分析可以用rsm包，第一步是擬合帶有2次項的多項式回歸，比如我現(xiàn)在有如下數(shù)據(jù)，x,y,z三個變量

?

首先我需要跑一個二次多項式回歸：

rsm(z ~ SO(x, y), data = data)

運行后直接summary上面函數(shù)生成的對象即可得到二次多項式的結(jié)果

?

可以看到xy每個項的系數(shù)都有展示，我們就是結(jié)合這些系數(shù)來驗證我們的研究假設(shè)。

第二步便是將模型結(jié)果通過響應(yīng)面進行可視化展示，代碼如下：

persp (rsm, ~x+y, 
       col = color,main="實例操練",
       xlab=c("關(guān)注公眾號","Codewar"),zlab = "示例",
       r=50,d=30,expand=1,box = T,
       #ltheta=10,lphi=99,
       shade=0.1,theta=-15,phi=15,
       #axes=F,
       contour=list(z="bottom"),
       cex.lab=1,
       cex.axis=0.5,
       ticktype="detailed",
       at = xs(rsm))

上面代碼中rsm為模型對象。運行后即可出響應(yīng)面圖如下：

?

通過上圖就可以很直觀地看到xy不同變化時，z值的對應(yīng)變化。

到此響應(yīng)面分析結(jié)束。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-467393.html

到了這里，關(guān)于R數(shù)據(jù)分析：多項式回歸與響應(yīng)面分析的理解與實操的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！