從信號(hào)處理角度進(jìn)行分析 簡(jiǎn)單的時(shí)間序列直接做各種譜分析（頻譜，包絡(luò)譜，平方包絡(luò)譜，功率譜，倒譜等等） 比如一些簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)時(shí)間序列信號(hào)

?如果頻譜不好分析，那可以分析如下圖所示的時(shí)間序列的時(shí)頻譜

?給個(gè)簡(jiǎn)單的模擬信號(hào)的例子 t = 0:1/2000:1-1/2000; dt = 1/2000; x1 = sin(50*pi*t).*exp(-50*pi*(t-0.2).^2); x2 = sin(50*pi*t).*exp(-100*pi*(t-0.5).^2); x3 = 2*cos(140*pi*t).*exp(-50*pi*(t-0.2).^2); x4 = 2*sin(140*pi*t).*exp(-80*pi*(t-0.8).^2); x = x1+x2+x3+x4; figure; plot(t,x) title('Superimposed Signal')

?其連續(xù)小波變換時(shí)頻譜如下

?一個(gè)模擬的軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)，帶有明顯的周期性

?相應(yīng)的頻譜如下，紅色虛線代表故障特征頻率及相應(yīng)的倍頻

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包絡(luò)譜如下

?看一下相應(yīng)的CWT時(shí)頻譜，很明顯能看出沖擊性

?還可以試試小波相干與交叉小波分析 小波相干、交叉小波，可以很好地反映兩個(gè)不同時(shí)間序列變化之間的“相關(guān)性”。小波相干分析，一般反映序列間周期性“變化趨勢(shì)”的一致性，但不直接反映變化周期的強(qiáng)度關(guān)系；交叉小波分析，一般反映序列間“共有周期”的強(qiáng)度。

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此外，如果時(shí)頻譜線能量發(fā)散，時(shí)頻脊線模糊，還可以試試同步壓縮之類的算法 時(shí)間序列信號(hào)處理系列-基于Python的同步壓縮變換 - 哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的文章 - 知乎 時(shí)間序列信號(hào)處理系列-基于Python的同步壓縮變換 - 知乎 當(dāng)時(shí)間序列信號(hào)中噪聲較大時(shí)，為了有利于周期性分析，不可避免地要進(jìn)行降噪前處理 比如K-SVD降噪

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樣條框架降噪

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Morlet小波降噪

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當(dāng)待分析的時(shí)間序列過(guò)于復(fù)雜時(shí)，那可能要引入模態(tài)分解（多分辨分析），比如小波分解，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解及其變體，變分模態(tài)分解，經(jīng)驗(yàn)小波變換，局部均值分解，辛幾何模態(tài)分解，各種各樣的自適應(yīng)分解算法 基于小波脊線的時(shí)間序列分解

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好多同學(xué)都對(duì)各種模態(tài)分解方法的時(shí)間序列處理感興趣，那就隨便說(shuō)一下 實(shí)際上，時(shí)間序列通常由多個(gè)具有物理意義的分量組成，在很多時(shí)候，為了更容易的研究信號(hào)，我們希望在與原始數(shù)據(jù)相同的時(shí)間尺度上單獨(dú)研究這些分量中的一個(gè)或多個(gè)，理想情況下，我們希望這些經(jīng)MRA分解到的多個(gè)分量在物理上是有意義的，可容易解釋的。多分辨率分析MRA通常與小波或小波包相關(guān)聯(lián)，但諸如經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解EMD，變分模態(tài)分解VMD等模態(tài)分解方法也可以構(gòu)成MRA。 先給一個(gè)簡(jiǎn)單的合成信號(hào)，信號(hào)以1000Hz的頻率采樣1秒鐘。 Fs = 1e3; t = 0:1/Fs:1-1/Fs; comp1 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7); comp2 = cos(2*pi*60*t).*(t>=0.1 & t<0.3); trend = sin(2*pi*1/2*t); rng default wgnNoise = 0.4*randn(size(t)); x = comp1+comp2+trend+wgnNoise; plot(t,x) xlabel('Seconds') ylabel('Amplitude') title('Synthetic Signal')

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該信號(hào)由3個(gè)主要分量組成：頻率為 60Hz的時(shí)間局部振蕩分量、頻率為 200 Hz的時(shí)間局部振蕩分量和趨勢(shì)項(xiàng)分量。趨勢(shì)項(xiàng)分量為正弦曲線，頻率為0.5Hz。60Hz的振蕩分量發(fā)生在 0.1到 0.3 秒之間，而 200Hz的振蕩分量發(fā)生在 0.7 到 1 秒之間。 但這些分量從時(shí)域波形中無(wú)法分辨，因此進(jìn)行頻域變換。 xdft = fft(x); N = numel(x); xdft = xdft(1:numel(xdft)/2+1); freq = 0:Fs/N:Fs/2; plot(freq,20*log10(abs(xdft))) xlabel('Cycles/second') ylabel('dB') grid on

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從頻率中可以更容易地辨別振蕩分量的頻率，但時(shí)間局部性信號(hào)卻丟失。為了同時(shí)定位時(shí)間和頻率信息，使用連續(xù)小波變換進(jìn)行分析。

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從CWT時(shí)頻譜圖中可以看出60Hz和200Hz分量的時(shí)間范圍，但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)趨勢(shì)項(xiàng)分量。為了分離出信號(hào)的分量并單獨(dú)進(jìn)行分析，接下來(lái)使用多分辨分析，直接在時(shí)域中進(jìn)行相關(guān)操作。 多分辨分析通過(guò)將信號(hào)分成不同分辨率的分量進(jìn)而縮小分析范圍，而提取不同分辨率的信號(hào)分量相當(dāng)于分解數(shù)據(jù)在不同時(shí)間尺度上的變化，或等效地在不同頻帶上進(jìn)行分析。首先，采用離散小波變換的變體最大重疊離散小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行多分辨分析，分解層數(shù)為8。關(guān)于最大重疊離散小波變換的相關(guān)內(nèi)容，請(qǐng)查看如下文獻(xiàn)。

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最大重疊離散小波變換的8層多分辨分析分解如下：

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如果從上向下看，會(huì)看到所分解的分量變得越來(lái)越平滑，即分量頻率越來(lái)越低?；叵胍幌拢夹盘?hào)包含3個(gè)主要分量，一個(gè) 200 Hz 的高頻振蕩成分、一個(gè) 60 Hz 的低頻振蕩成分和一個(gè)趨勢(shì)成分，它們都被加性噪聲破壞了。 從D2 圖中可以看出時(shí)間局部化的高頻分量被分解出來(lái)，而下面的兩個(gè)圖包含較低頻率的振蕩分量，這是多分辨率分析的一個(gè)重要方面，最后S8子圖中包含了趨勢(shì)項(xiàng)分量。 除了小波多分辨分析，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解 (EMD) 是一種所謂的數(shù)據(jù)自適應(yīng)多分辨技術(shù)。 EMD 在不使用固定基函數(shù)的情況下遞歸地從數(shù)據(jù)中提取不同的分辨率成分，關(guān)于EMD相關(guān)文獻(xiàn)浩如煙海，不做贅述了。EMD的多分辨分析分解如下所示：

?雖然MRA分解分量的數(shù)目不同，但 EMD MRA和小波 MRA會(huì)產(chǎn)生相似的信號(hào)波形，在 EMD MRA分解中，高頻振蕩成分位于第1個(gè)本征模態(tài)函數(shù)中 (IMF1)，低頻振蕩成分主要位于IMF2和IMF3中，IMF6 中的趨勢(shì)項(xiàng)分量與小波技術(shù)提取的趨勢(shì)分量非常相似。 自適應(yīng)多分辨分析的另一種技術(shù)是變分模態(tài)分解 (VMD)，VMD 從信號(hào)中提取固有模式函數(shù)或振蕩模式，并不使用固定基函數(shù)進(jìn)行分析。EMD在時(shí)域上遞歸，以逐步提取低頻IMF分量，而VMD 首先識(shí)別頻域中的信號(hào)峰值并同時(shí)提取所有模式，相關(guān)文獻(xiàn)如下： Dragomiretskiy, Konstantin, and Dominique Zosso. “Variational Mode Decomposition.” IEEE Transactions on Signal Processing 62, no. 3 (February 2014): 531–44. https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2288675. VMD的多分辨分析分解如下所示：

?由上圖可知，與小波和EMD類似，VMD將3個(gè)分量基本分離了出來(lái)。 還有一種數(shù)據(jù)自適應(yīng)多分辨分析技術(shù)：經(jīng)驗(yàn)小波變換 (EWT) ，EWT根據(jù)分析信號(hào)的頻率構(gòu)造 Meye小波進(jìn)而進(jìn)行自適應(yīng)小波，之前寫(xiě)過(guò)EWT相關(guān)的內(nèi)容： 經(jīng)驗(yàn)小波變換在信號(hào)處理及軸承故障診斷中的應(yīng)用 - 哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派的文章 - 知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/53 EWT的多分辨分析分解如下所示：

?與之前的EMD和小波MRA類似，EWT分解出了相關(guān)的振蕩分量，用于執(zhí)行分析的濾波器及其通帶信息如下：

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下面考慮一段神戶地震信號(hào)，源于1995 年 1 月 16 日在澳大利亞霍巴特的塔斯馬尼亞大學(xué)記錄，從 20:56:51 (GMT) 開(kāi)始，以 1 秒的間隔持續(xù) 51分鐘。 figure plot(T,kobe) title('Kobe Earthquake Seismograph') ylabel('Vertical Acceleration (nm/s^2)') xlabel('Time') axis tight grid on

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以最大重疊離散小波變換為例，其8層MRA分解如下：

?從D4和D5子圖中可以看出初級(jí)與延遲次級(jí)波分量，地震波中的分量以不同的速度傳播，初級(jí)波比次級(jí)（剪切）波傳播的更快。 將信號(hào)分解為若干分量的目的通常是去除某些分量以減輕對(duì)信號(hào)分析的影響，MRA技術(shù)的關(guān)鍵是重建原始信號(hào)的能力，如下：

?每種方法的最大重建誤差約為10^(-12) 或更小，表明它們可以完美地對(duì)信號(hào)進(jìn)行重建。在很多研究中我們對(duì)趨勢(shì)項(xiàng)不感興趣，由于趨勢(shì)項(xiàng)一般位于最后一個(gè) MRA 分解分量中，因此只需將該分量去除，然后進(jìn)行重建。

?此外，再刪除第1個(gè)MRA分解分量（看起來(lái)主要是噪聲）

?在前面我們將趨勢(shì)項(xiàng)刪除，然而在許多應(yīng)用中，趨勢(shì)項(xiàng)可能是我們的主要研究部分，因此可視化幾種MRA方法所提取的趨勢(shì)項(xiàng)分量。

根據(jù)以上的分析，小波MRA技術(shù)可以更平滑且最準(zhǔn)確地提取趨勢(shì)項(xiàng)，EMD提取了一個(gè)平滑的趨勢(shì)項(xiàng)，但它相對(duì)于真實(shí)趨勢(shì)幅度發(fā)生了偏移，而 VMD似乎比小波和EMD更偏向于提取振蕩分量。 在前面的示例中，強(qiáng)調(diào)了多分辨分析在檢測(cè)數(shù)據(jù)中的振蕩分量和總體趨勢(shì)中的作用，然而MRA還可以定位和檢測(cè)信號(hào)中的瞬態(tài)成分。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，以1947年第一季度至 2011 年第四季度美國(guó)實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值 (GDP) 數(shù)據(jù)，垂直的黑線標(biāo)志著“大緩和”的開(kāi)始，標(biāo)志著從 1980 年代中期開(kāi)始，美國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)性減弱的時(shí)期，很難從原始數(shù)據(jù)中辨別出來(lái)。

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到了這里，關(guān)于如何對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行小波分析，得出其周期？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！