M表示明文空間，K表示密鑰空間，C表示所有可能的密文集合
完善保密加密的概念:
簡化約定，不再特殊聲明
，除數(shù)為0無意義
完全保密加密的等價(jià)公式:
證明:
必要性證明略，此證明為條件概率的簡單應(yīng)用
完全不可區(qū)分性:
完善保密加密的另一形式:
?證明:
?敵手不可區(qū)分性:
?竊聽不可區(qū)分實(shí)驗(yàn):
?完善保密加密的另一種形式:
總結(jié)完善保密加密的四種形式:
1.
2.
3.
4.
一次一密(Vernam加密)
?也就是說加密是通過密鑰和明文異或得到的，解密是密文和密鑰異或得到的，順便一提，
0⊕A=A
證明:
?解釋一下，由于k=m⊕c，所以m⊕K=c的概率就為K=m⊕c，相當(dāng)于逆運(yùn)算，而P(K=m⊕c)，而這個(gè)概率表示密鑰為某一個(gè)特定值，所以為1/2^l，根據(jù)之前的完善保密加密公式即可證明
一次一密的局限性:
簡單總結(jié)為密鑰長度需要和明文長度一致，密鑰長度不確定，且密鑰只能使用一次
簡單提一下,?⊕滿足結(jié)合律和交換律，所以上圖的式子成立
完善保密的局限：完善保密加密方案的密鑰空間至少要和明文空間一樣大。如果密鑰空間由固定長度的密鑰組成，明文空間由固定長度的明文組成，則意味著密鑰至少要和明文一樣長。所以長密鑰的問題并不是一次一密專有，而是所有完善保密加密的內(nèi)在問題(另一個(gè)限制是密鑰只能使用一次)
定理:若一個(gè)方案是完善加密方案，則K的數(shù)量應(yīng)＞＝M的數(shù)量
解釋:最初有疑惑為什么顯然M(c)<=K的數(shù)量，舉個(gè)例子:明文m0通過k0加密成c，明文m1通過k0也加密成c，這樣的結(jié)果為K>=M(c)，但本書中假設(shè)Deck(c)的值為確定的。如果上述例子出現(xiàn)的話，密文c通過密匙k解密會出現(xiàn)多個(gè)明文違反了此規(guī)定。
由于假設(shè)|K|<|M|，結(jié)合之前的結(jié)論M(c)<=K的數(shù)量，有一些明文出現(xiàn)在明文空間卻不在密文解密后的明文，違背了之前完善保密加密公式，所以|K|>=|M|
香農(nóng)定理:
分析證明:
解釋:
? ? ? ? 充分性用一次一密方法證明即可，必要性如果三者的數(shù)量相同的話，本書有個(gè)前提Deck是確定的，如果沒有一個(gè)鑰匙映射到每個(gè)明文m到每個(gè)密文c，會出現(xiàn)明文m通過key映射到曾經(jīng)映射過的值，這就代表此時(shí)明文m不能通過K里的所有k，映射到某個(gè)密文c。此時(shí)
，違背了完善加密原則，所以必須唯一對應(yīng)
證明:
必要性證明部分解釋:
?
?如果兩個(gè)相等的話，集合中不應(yīng)有重復(fù)項(xiàng)，前者| |應(yīng)該<|K|,所以至多有一個(gè)，又因?yàn)橥晟票Ｃ芗用埽辽儆幸粋€(gè)，所以僅有一個(gè)
??
在下圖這一步中，因?yàn)槿我饷芪腸和mi，都確定一個(gè)ki，所以在M=mi的概率下C=c的概率等于K=ki的概率
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-436940.html
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