一、引言
在《人工智能數學基礎–概率與統(tǒng)計12：連續(xù)隨機變量的概率密度函數以及正態(tài)分布》介紹了連續(xù)隨機變量概率分布及概率密度函數的概念，并介紹了連續(xù)隨機變量一個重要的概率密度函數：正態(tài)分布的概率密度函數的定義以及推導、使用場景，本文將介紹連續(xù)隨機變量重要的標準正態(tài)分布。
二、標準正態(tài)分布
2.1、定義
在《人工智能數學基礎–概率與統(tǒng)計12：連續(xù)隨機變量的概率密度函數以及正態(tài)分布》介紹了正態(tài)分布 X ~ N(u,σ2）：
f
(
x
)
=
(
2
π
??
σ
)
?
1
e
?
(
x
?
u
)
2
2
σ
2
????????????????????
(
?
∞
<
x
<
∞
）
{\Large f(x) = (\sqrt{2π} \;σ )^{-1}e^{-\frac{(x-u)^2}{2σ^2}}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-∞<x<∞）
f(x)=(2π?σ)?1e?2σ2(x?u)2?(?∞<x<∞）
其中u和σ2為正態(tài)分布的“參數”，都是常數，u為任何實數，0<σ<∞。
當正態(tài)分布的參數u=0、σ2=1時，正態(tài)分布的概率密度函數就簡化為：
f
(
x
)
=
e
?
x
2
2
/
2
π
????????????????????
(
?
∞
<
x
<
∞
）
{\Large f(x) = e^{-\frac{x^2}2}} /\sqrt{2π} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-∞<x<∞）
f(x)=e?2x2?/2π?(?∞<x<∞）
這就是正態(tài)分布N(0,1)的密度函數，N(0,1)就稱為標準正態(tài)分布，其密度函數常記為φ(x)，分布函數記為Φ(x)。
2.2、標準正態(tài)分布與正態(tài)分布的關系
標準正態(tài)分布是正態(tài)分布的一種特例，標準正態(tài)分布函數非常重要，因為任意的正態(tài)分布函數N(u,σ2）都可以轉換成標準正態(tài)分布N(0,1)，對于任意的X~N(u,σ2），則 Y = (X-u)/σ ~ N(0,1)，證明過程如下：
這個分布函數的導數就是標準正態(tài)分布密度函數。
2.3、標準正態(tài)分布函數表
標準正態(tài)分布函數非常重要，因此其變量與值的數據在概率論相關著作中都有x取值和函數值的表，下表是標準正態(tài)分布函數 Φ ( x ) = ( 2 π ) ? 1 ∫ ? ∞ x e ? t 2 2 d t Φ(x) = (\sqrt{2π})^{-1}∫^x_{-∞} e^{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(x)=(2π?)?1∫?∞x?e?2t2?dt當0≤x≤2.98時的函數值對應表，其中縱坐標為x取值到十分位的值，橫坐標為x百分位的值，表格中為分布函數的值，當0≤x≤2.98時此表中沒有表達的x的對應函數值，可通過線性插值法獲得。
當x<0時，可用Φ(x) =1-Φ(-x)轉換為x大于0的情況，這個轉換證明如下：
2.4、應用案例
例、已知 X~N(1.5,22），計算P(-1≤x≤2)。
解：
P
(
?
1
≤
x
≤
2
)
=
P
(
?
1
?
1.5
2
≤
X
?
1.5
2
≤
2
?
1.5
2
)
=
P
(
?
1.25
≤
X
?
1.5
2
≤
0.25
)
=
Φ
(
0.25
)
?
Φ
(
?
1.25
)
=
Φ
(
0.25
)
+
Φ
(
1.25
)
?
1
=
0.4931
P(-1≤x≤2) = P(\frac{-1-1.5}{2}≤\frac{X-1.5}{2}≤\frac{2-1.5}{2})\\=P(-1.25≤\frac{X-1.5}{2}≤0.25)=Φ(0.25)-Φ(-1.25)=Φ(0.25)+Φ(1.25)-1=0.4931
P(?1≤x≤2)=P(2?1?1.5?≤2X?1.5?≤22?1.5?)=P(?1.25≤2X?1.5?≤0.25)=Φ(0.25)?Φ(?1.25)=Φ(0.25)+Φ(1.25)?1=0.4931
其中Φ(0.25)、Φ(1.25)的值通過查表加線性插值得到。
三、小結
本文是老猿學習中國科學技術大學出版社出版的陳希孺老先生的《概率論與數理統(tǒng)計》的總結和思考，標準正態(tài)分布N(0,1)是正態(tài)分布N(u，σ2)的特例，本文介紹了標準正態(tài)分布的由來、正態(tài)分布轉換成標準正態(tài)分布的方法以及標準正態(tài)分布函數值表和應用案例。
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