奇異值分解(SVD)原理與在降維中的應(yīng)用

奇異值分解(Singular Value Decomposition，以下簡稱SVD)是在機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的算法，它不光可以用于降維算法中的特征分解，還可以用于推薦系統(tǒng)，以及自然語言處理等領(lǐng)域。是很多機器學(xué)習(xí)算法的基石。本文就對SVD的原理做一個總結(jié)，并討論在在PCA降維算法中是如何運用運用SVD的。

1. 回顧特征值和特征向量

我們首先回顧下特征值和特征向量的定義如下：$Ax=\lambda x$

其中A是一個$n\times n$的矩陣，x是一個n維向量，則我們說$\lambda$是矩陣A的一個特征值，而x是矩陣A的特征值$\lambda$所對應(yīng)的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好處呢？ 就是我們可以將矩陣A特征分解。如果我們求出了矩陣A的n個特征值${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le ...\le {\lambda }_n$,以及這n個特征值所對應(yīng)的特征向量 { w 1 , w 2 , . . . w n } \{w_1,w_2,...w_n\} {w1?,w2?,...wn?}，那么矩陣A就可以用下式的特征分解表示：$A=W\Sigma W^{?1}$

其中W是這n個特征向量所張成的$n\times n$維矩陣，而$\Sigma$為這n個特征值為主對角線的$n\times n$維矩陣。

一般我們會把W的這n個特征向量標(biāo)準(zhǔn)化，即滿足$||w_i|{|}_2=1$, 或者說$w_i^T{w}_i=1$，此時W的n個特征向量為標(biāo)準(zhǔn)正交基，滿足$W^{T}W=I$，即$W^T=W^{?1}$, 也就是說W為酉矩陣。

這樣我們的特征分解表達(dá)式可以寫成$A=W\Sigma W^T$

注意到要進(jìn)行特征分解，矩陣A必須為方陣。那么如果A不是方陣，即行和列不相同時，我們還可以對矩陣進(jìn)行分解嗎？答案是可以，此時我們的SVD登場了。

2. SVD的定義

SVD也是對矩陣進(jìn)行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩陣為方陣。假設(shè)我們的矩陣A是一個$m\times n$的矩陣，那么我們定義矩陣A的SVD為：$A=U\Sigma V^T$

其中U是一個$m\times m$的矩陣，$\Sigma$是一個$m\times n$的矩陣，除了主對角線上的元素以外全為0，主對角線上的每個元素都稱為奇異值，V是一個$n\times n$的矩陣。U和V都是酉矩陣，即滿足$U^{T}U=I,V^{T}V=I$。下圖可以很形象的看出上面SVD的定義：

那么我們?nèi)绾吻蟪鯯VD分解后的U, $\Sigma$, V這三個矩陣呢？

如果我們將A的轉(zhuǎn)置和A做矩陣乘法，那么會得到$n\times n$的一個方陣$A^{T}A$。既然$A^{T}A$是方陣，那么我們就可以進(jìn)行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：$(A^{T}A)v_i={\lambda }_i{v}_i$

這樣我們就可以得到矩陣$A^{T}A$的n個特征值和對應(yīng)的n個特征向量v了。將$A^{T}A$的所有特征向量張成一個$n\times n$的矩陣V，就是我們SVD公式里面的V矩陣了。一般我們將V中的每個特征向量叫做A的右奇異向量。

如果我們將A和A的轉(zhuǎn)置做矩陣乘法，那么會得到$m\times m$的一個方陣$A{A}^T$。既然$A{A}^T$是方陣，那么我們就可以進(jìn)行特征分解，得到的特征值和特征向量滿足下式：$(A{A}^T)u_i={\lambda }_i{u}_i$

這樣我們就可以得到矩陣$A{A}^T$的m個特征值和對應(yīng)的m個特征向量u了。將$A{A}^T$的所有特征向量張成一個$m\times m$的矩陣U，就是我們SVD公式里面的U矩陣了。一般我們將U中的每個特征向量叫做A的左奇異向量。

U和V我們都求出來了，現(xiàn)在就剩下奇異值矩陣$\Sigma$沒有求出了。由于$\Sigma$除了對角線上是奇異值其他位置都是0，那我們只需要求出每個奇異值$\sigma$就可以了。

我們注意到:$A=U\Sigma V^T?AV=U\Sigma V^{T}V?AV=U\Sigma ?A{v}_i={\sigma }_i{u}_i?{\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$

這樣我們可以求出我們的每個奇異值，進(jìn)而求出奇異值矩陣$\Sigma$。

上面還有一個問題沒有講，就是我們說$A^{T}A$的特征向量組成的就是我們SVD中的V矩陣，而$A{A}^T$的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣，這有什么根據(jù)嗎？這個其實很容易證明，我們以V矩陣的證明為例。$A=U\Sigma V^T?A^T=V\Sigma U^T?A^{T}A=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^T=V{\Sigma }^2{V}^T$

上式證明使用了:$U^{T}U=I,{\Sigma }^T=\Sigma$?？梢钥闯?span id="n5n3t3z" class="katex--inline">$A^{T}A$的特征向量組成的的確就是我們SVD中的V矩陣。類似的方法可以得到$A{A}^T$的特征向量組成的就是我們SVD中的U矩陣。

進(jìn)一步我們還可以看出我們的特征值矩陣等于奇異值矩陣的平方，也就是說特征值和奇異值滿足如下關(guān)系：${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$

這樣也就是說，我們可以不用${\sigma }_i=\frac{A{v}_i}{u_i}$來計算奇異值，也可以通過求出$A^{T}A$的特征值取平方根來求奇異值。

3. SVD計算舉例

這里我們用一個簡單的例子來說明矩陣是如何進(jìn)行奇異值分解的。我們的矩陣A定義為：

A = ( 0 1 1 1 1 0 ) \mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) A= ?011?110? ?

我們首先求出$A^{T}A$和$A{A}^T$

A T A = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 2 1 1 2 ) \mathbf{A^TA} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2& 1 \\ 1&2 \end{array} \right) ATA=(01?11?10?) ?011?110? ?=(21?12?)

A A T = ( 0 1 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 1 0 ) = ( 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ) \mathbf{AA^T} = \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\ 1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0& 1 &1\\ 1&1&0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 1& 1 &0\\1& 2 &1\\ 0& 1&1 \end{array} \right) AAT= ?011?110? ?(01?11?10?)= ?110?121?011? ?

進(jìn)而求出$A^{T}A$的特征值和特征向量：${\lambda }_1=3;v_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right);{\lambda }_2=1;v_2=\left(\begin{array}{c}\frac{?1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

接著求$A{A}^T$的特征值和特征向量：

λ 1 = 3 ; u 1 = ( 1 6 2 6 1 6 ) ; λ 2 = 1 ; u 2 = ( 1 2 0 ? 1 2 ) ; λ 3 = 0 ; u 3 = ( 1 3 ? 1 3 1 3 ) \lambda_1= 3; u_1 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}}\\ \frac {2} {\sqrt{6}} \\ \frac {1} {\sqrt{6}}\end{array} \right); \lambda_2= 1; u_2 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac {-1} {\sqrt{2}}\end{array} \right); \lambda_3= 0; u_3 = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{3}} \\ \frac {-1} {\sqrt{3}}\\ \frac {1} {\sqrt{3}}\end{array} \right) λ1?=3;u1?= ?6 ?1?6 ?2?6 ?1?? ?;λ2?=1;u2?= ?2 ?1?02 ??1?? ?;λ3?=0;u3?= ?3 ?1?3 ??1?3 ?1?? ?

利用$A{v}_i={\sigma }_i{u}_i,i=1,2$求奇異值：

( 0 1 1 1 1 0 ) ( 1 2 1 2 ) = σ 1 ( 1 6 2 6 1 6 ) ? σ 1 = 3 \left(\begin{array}{ccc} 0& 1\\1& 1\\ 1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right) = \sigma_1 \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}} \\\frac {2} {\sqrt{6}} \\ \frac {1} {\sqrt{6}}\end{array} \right)\Rightarrow \sigma_1=\sqrt{3} ?011?110? ?(2 ?1?2 ?1??)=σ1? ?6 ?1?6 ?2?6 ?1?? ??σ1?=3 ?

( 0 1 1 1 1 0 ) ( ? 1 2 1 2 ) = σ 2 ( 1 2 0 ? 1 2 ) ? σ 2 = 1 \left( \begin{array}{ccc} 0& 1\\1& 1\\1&0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {-1} {\sqrt{2}}\\ \frac {1} {\sqrt{2}} \end{array} \right) = \sigma_2 \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac {-1} {\sqrt{2}}\end{array} \right)\Rightarrow \sigma_2=1 ?011?110? ?(2 ??1?2 ?1??)=σ2? ?2 ?1?02 ??1?? ??σ2?=1

當(dāng)然，我們也可以用${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$直接求出奇異值為$\sqrt{3}$和1.

最終得到A的奇異值分解為： A = U Σ V T = ( 1 6 1 2 1 3 2 6 0 ? 1 3 1 6 ? 1 2 1 3 ) ( 3 0 0 1 0 0 ) ( 1 2 1 2 ? 1 2 1 2 ) A=U\Sigma V^T = \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{6}} & \frac {1} {\sqrt{2}} & \frac {1} {\sqrt{3}}\\\frac {2} {\sqrt{6}} & 0 & \frac {-1} {\sqrt{3}}\\ \frac {1} {\sqrt{6}} & \frac {-1} {\sqrt{2}} & \frac {1} {\sqrt{3}}\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac {1} {\sqrt{2}}& \frac {1} {\sqrt{2}}\\ \frac {-1} {\sqrt{2}}& \frac {1} {\sqrt{2}}\end{array} \right) A=UΣVT= ?6 ?1?6 ?2?6 ?1??2 ?1?02 ??1??3 ?1?3 ??1?3 ?1?? ? ?3 ?00?010? ?(2 ?1?2 ??1??2 ?1?2 ?1??)

4. SVD的一些性質(zhì)

上面幾節(jié)我們對SVD的定義和計算做了詳細(xì)的描述，似乎看不出我們費這么大的力氣做SVD有什么好處。那么SVD有什么重要的性質(zhì)值得我們注意呢？

對于奇異值,它跟我們特征分解中的特征值類似，在奇異值矩陣中也是按照從大到小排列，而且奇異值的減少特別的快，在很多情況下，前10%甚至1%的奇異值的和就占了全部的奇異值之和的99%以上的比例。也就是說，我們也可以用最大的k個的奇異值和對應(yīng)的左右奇異向量來近似描述矩陣。也就是說：$A_{m\times n}=U_{m\times m}{\Sigma }_{m\times n}{V}_{n\times n}^T\approx U_{m\times k}{\Sigma }_{k\times k}{V}_{k\times n}^T$

其中k要比n小很多，也就是一個大的矩陣A可以用三個小的矩陣$U_{m\times k},{\Sigma }_{k\times k},V_{k\times n}^T$來表示。如下圖所示，現(xiàn)在我們的矩陣A只需要灰色的部分的三個小矩陣就可以近似描述了。

由于這個重要的性質(zhì)，SVD可以用于PCA降維，來做數(shù)據(jù)壓縮和去噪。也可以用于推薦算法，將用戶和喜好對應(yīng)的矩陣做特征分解，進(jìn)而得到隱含的用戶需求來做推薦。同時也可以用于NLP中的算法，比如潛在語義索引（LSI）。下面我們就對SVD用于PCA降維做一個介紹。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理總結(jié)中，我們講到要用PCA降維，需要找到樣本協(xié)方差矩陣$X^{T}X$的最大的d個特征向量，然后用這最大的d個特征向量張成的矩陣來做低維投影降維?？梢钥闯觯谶@個過程中需要先求出協(xié)方差矩陣$X^{T}X$，當(dāng)樣本數(shù)多樣本特征數(shù)也多的時候，這個計算量是很大的。

注意到我們的SVD也可以得到協(xié)方差矩陣$X^{T}X$最大的d個特征向量張成的矩陣，但是SVD有個好處，有一些SVD的實現(xiàn)算法可以不求先求出協(xié)方差矩陣$X^{T}X$，也能求出我們的右奇異矩陣V。也就是說，我們的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD來完成。這個方法在樣本量很大的時候很有效。實際上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的實現(xiàn)就是用的SVD，而不是我們我們認(rèn)為的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA僅僅使用了我們SVD的右奇異矩陣，沒有使用左奇異矩陣，那么左奇異矩陣有什么用呢？

假設(shè)我們的樣本是$m\times n$的矩陣X，如果我們通過SVD找到了矩陣$X{X}^T$最大的d個特征向量張成的$m\times d$維矩陣U，則我們?nèi)绻M(jìn)行如下處理：$X_{d\times n}^{\prime }=U_{d\times m}^T{X}_{m\times n}$

可以得到一個$d\times n$的矩陣X‘,這個矩陣和我們原來的$m\times n$維樣本矩陣X相比，行數(shù)從m減到了k，可見對行數(shù)進(jìn)行了壓縮。也就是說，左奇異矩陣可以用于行數(shù)的壓縮。相對的，右奇異矩陣可以用于列數(shù)即特征維度的壓縮，也就是我們的PCA降維。

6. SVD小結(jié)

SVD作為一個很基本的算法，在很多機器學(xué)習(xí)算法中都有它的身影，特別是在現(xiàn)在的大數(shù)據(jù)時代，由于SVD可以實現(xiàn)并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不難，只要有基本的線性代數(shù)知識就可以理解，實現(xiàn)也很簡單因此值得仔細(xì)的研究。當(dāng)然，SVD的缺點是分解出的矩陣解釋性往往不強，有點黑盒子的味道，不過這不影響它的使用。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-424661.html

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