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兩樣本和多樣本的Brown-Mood中位數(shù)檢驗

例3.1我國兩個地區(qū)一些（分別為17個和15個）城鎮(zhèn)職工的工資(元）：

Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和檢驗及有關置信區(qū)間

例3.1我國兩個地區(qū)一些（分別為17個和15個）城鎮(zhèn)職工的工資(元）：

Kruskal-Wallis秩和檢驗

例4.1在一項健康實驗中，三人組有三種生活方式，他們的減肥效果如下表：

• 兩樣本和多樣本的Brown-Mood中位數(shù)檢驗

定義：零假設：H0：Mx=My，備擇假設：H1：Mx<My.

如果H0成立，兩樣本混合中位數(shù)Mxy可以均勻的分開X和Y兩個樣本，檢驗關注A的數(shù)值，A的意義是樣本X混合中位數(shù)右側(cè)的個數(shù)，如果A很大，則表示樣本X的中位數(shù)明顯大于樣本Y的；如果A很小，則表示樣本Y的中位數(shù)明顯大于樣本X的。

例3.1我國兩個地區(qū)一些（分別為17個和15個）城鎮(zhèn)職工的工資(元）：

地區(qū)1:6864 7304 7477 7779 7895 8348 8461 9553 9919 10073 10270 11581 13472 13600 13962 15019 17244

地區(qū)2：10276 10533 10633 10837 11209 11393 11864 12040 12642 12675 13199 13683 14049 14061 16079

人們想要知道這兩個地區(qū)平均城鎮(zhèn)職工工資的中位數(shù)是否一樣.

答：由題里的數(shù)據(jù)可制作下圖：

箱線圖從左到右依次代表地區(qū)1，地區(qū)2和混合樣本的數(shù)據(jù)

令地區(qū)1的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為Mx，地區(qū)2的為My，混合樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為Mxy.

零假設：H0：Mx=My，備擇假設：H1：Mx<My.

如果H0成立，則混合樣本的中位數(shù)Mxy在地區(qū)1、地區(qū)2的兩個樣本中，大于或小于Mxy應該大體一樣。

由數(shù)據(jù)算得Mxy=11301，用兩樣本數(shù)據(jù)和Mxy比較后得到下表1：

令A表示列表中a的取值，在m，n和t固定時，A的分布在H0下的超幾何分布（m<k）為：

P(A=k)=mknt-km+nt

Brown-Mood中位數(shù)檢驗的基本內(nèi)容（表2）：

由表1數(shù)據(jù)可知，p值為P(X≤a)=P(X≤6)=0.07780674（由r算得），根據(jù)這個p值，按照顯著性水平0.05，無法拒絕原假設。也就是兩個地區(qū)平均城鎮(zhèn)職工工資的中位數(shù)是一樣的。

以此類推，可以求出下表3：

在零假設下，在大樣本時，可以從超幾何分布的均值和標準差的表達式來得到正態(tài)近似統(tǒng)計量為：

Z=A±0.5-mt/Nmnt(N-t)/N3~N（0，1）

對于雙邊備則檢驗（H1:Mx≠My），在大樣本情況下，可以用檢驗統(tǒng)計量

K=2a-m2(m+n)mn

它近似服從自由度為1的卡方分布，當K=3.137255，p值為0.0765225.

由于0.0765225>0.05所以我們有沒有充分理由拒絕H0，即不能說A組學生比B組學生算得更快。

R代碼：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-424638.html

x=c(6864,7304,7477,7779,7895,8348,8461,9553,9919,10073,10270,11581,13472,13600,13962,15019,17244)

y=c(10276,10533,10633,10837,11209,11393,11864,12040,12642,12675,13199,13683,14049,14061,16079)

z=c(6864,7304,7477,7779,7895,8348,8461,9553,9919,10073,10270,11581,13472,13600,13962,15019,17244,10276,10533,10633,10837,11209,11393,11864,12040,12642,12675,13199,13683,14049,14061,16079)

boxplot(x,y,z)

median(z, na.rm = FALSE)

a=6

b=10

m=17

n=15

phyper(a,m,n,a+b)

1-phyper(a,m,n,a+b)

1-phyper(a-1,m,n,(m+n)-(a+b))

2*phyper(a,m,n,a+b)

pnorm((a+0.5-m*(a+b)/(m+n))/sqrt(m*n*(a+b)*(m+n-(a+b))/(m+n)^3))

• Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和檢驗及有關置信區(qū)間

定義：Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和檢驗是Brown-Mood中位數(shù)檢驗的升級版，假設兩個總體分布有類似的形狀，不假定對稱。

X1,X2,…,Xm~F(X-μ1)；Y1,Y2,…,Yn~（Y-μ2）

零假設：H0：μ1=μ2，備擇假設：H1：μ1≠μ2

例3.1我國兩個地區(qū)一些（分別為17個和15個）城鎮(zhèn)職工的工資(元）：

地區(qū)1:6864 7304 7477 7779 7895 8348 8461 9553 9919 10073 10270 11581 13472 13600 13962 15019 17244

地區(qū)2：10276 10533 10633 10837 11209 11393 11864 12040 12642 12675 13199 13683 14049 14061 16079

人們想要知道這兩個地區(qū)平均城鎮(zhèn)職工工資的中位數(shù)是否一樣.

答：令地區(qū)1的樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為Mx，地區(qū)2的為My，混合樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為Mxy.

零假設：H0：Mx=My，備擇假設：H1：Mx<My.

下面是兩個地區(qū)混合樣本的秩：

可以得出Wy=306，Wx=222，Wxy=186，Wyx=69.

對于備則檢驗H1：Mx<My，得到p值為0.0135。因此，對于高于0.015的置信區(qū)間水平都可以拒絕零假設。

對于雙邊備擇假設H1:Mx≠My，得到p值為0.0270，是上面單邊檢驗的兩倍；若用連續(xù)修正的正態(tài)近似，得到p值為0.0285,；若不加連續(xù)改正量，得到p值為0.0272.

對于備擇假設H1:Mx<My,若用連續(xù)修正的正態(tài)近似，得到p值為0.0143,；若不加連續(xù)改正量，得到p值為0.0136.

由于以上計算的所有p值，均小于0.05，所以我們有充分的理由拒絕原假設，即地區(qū)1的中位數(shù)比地區(qū)2小。

Mx-My的點估計和區(qū)間估計：

由上述代碼運行結(jié)果知，Mx-My的點估計為-2479.

由上述代碼運行結(jié)果知，Mx-My的（1-α）置信區(qū)間為（-3916，-263）。

R代碼：

x=c(6864,7304,7477,7779,7895,8348,8461,9553,9919,10073,10270,11581,13472,13600,13962,15019,17244)

y=c(10276,10533,10633,10837,11209,11393,11864,12040,12642,12675,13199,13683,14049,14061,16079)

m=length(x);n=length(y);m;n;

Wxy=sum(outer(y,x,"-")>0);Wxy

Wyx=sum(outer(x,y,"-")>0);Wyx

pwilcox(69,m,n)

wilcox.test(x,y)

wilcox.test(x,y,exact=F)

wilcox.test(x,y,exact=F,cor=F)

wilcox.test(x,y,exact=F,alt="less")

wilcox.test(x,y,exact=F,alt="less",cor=F)

median(outer(x,y,"-"))

D=sort(as.vector(outer(x,y,"-")))

qwilcox(0.025,m,n)

D[76]

D[m*n+1-76]

• Kruskal-Wallis秩和檢驗

定義：Kruskal-Wallis秩和檢驗根據(jù)所有數(shù)據(jù)從小到大排序，算出每個數(shù)據(jù)的秩。其中Ri為每組的秩和，ni為每組的樣本個數(shù)。當每組樣本中的觀察數(shù)目有5個或5個以上，則樣本統(tǒng)計量 KWC 的分布與自由度為k-1的卡方分布非常接近。因此，KW統(tǒng)計量可利用卡方分布進行檢驗。

KW=組間平方和/全體樣本的秩方差

如果樣本中存在結(jié)值（數(shù)據(jù)相同秩值的個數(shù)），則校正系數(shù)C=1-Σ（τi^3-τi）/n^3-n，其中τi等于第j個結(jié)值的個數(shù)，調(diào)整后的KWc=KW/C.

Kruskal-Wallis統(tǒng)計量：

H=12N(N-1)i=1kni(Ri-R)2=12N(N-1)i=1kRi2ni-3(N+1)

例4.1在一項健康實驗中，三人組有三種生活方式，他們的減肥效果如下表：

人們想知道從這個數(shù)據(jù)能否得出他們的減肥效果（位置參數(shù)）是一樣的。

答：假定k個樣本有相似的連續(xù)正態(tài)分布，而且所有的觀測值在樣本內(nèi)和樣本之間是獨立的，我們假定k個獨立樣本有連續(xù)的分布函數(shù)F1,…, Fk.我們設

零假設H0：F1(X)=…=Fk(X)=F(X);備擇假設H1：Fi(X)=F(X-θi)，i=1,…,k

這里F是某連續(xù)分布函數(shù)，而且這些位置參數(shù)θi并不全部相同。

假定有k個樣本，各樣本的樣本量為ni，i=1，…，k.那么，觀測值可以寫成下面的線性模型：xij=μ+θi+εij,j=1,…, ni及 i=1,…,k,誤差是獨立同分布的.

我們要檢驗的是H0: θ1=θ2=…=θk等價于Ha:H0的諸等式中至少有一個不成立。

由題中數(shù)據(jù)所畫箱線圖如下：

由上述代碼運行結(jié)果知p=0.00895<0.05,故我們有充分理由拒絕H0，即他們的減肥效果，即位置參數(shù)是不一樣的。

R代碼：

a=c(3.7,3.7,3.0,3.9,2.7)

b=c(7.3,5.2,5.3,5.7,6.5)

c=c(9.0,4.9,7.1,8.3)

boxplot(a,b,c)

m1=length(a)

m2=length(b)

m3=length(c)

m<-m1+m2+m3

library(fBasics)

d=c(a,b,c)

e=c(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3)

kruskal.test(d,e)

到了這里，關于非參數(shù)統(tǒng)計：兩樣本和多樣本的Brown-Mood中位數(shù)檢驗；Wilcoxon(Mann-Whitney)秩和檢驗及有關置信區(qū)間；Kruskal-Wallis秩和檢驗的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！