在某些論文或文章里看到對數(shù)(等角)螺旋線的公式：
。但是搜索了一下，通常都是一些講解對數(shù)等角螺旋線的性質(zhì)的結(jié)果以及公式結(jié)果，并沒有詳細(xì)的公式推導(dǎo)。當(dāng)然對于大多數(shù)人只要知道上述公式就好了，當(dāng)作一個結(jié)論公式使用。
當(dāng)然也有像我這樣的想知道公式怎么推出了的，因此我寫下這篇文章，希望能夠幫助到大家。因本人才疏學(xué)淺，文章定有不足，希望大家能夠在評論區(qū)討論以及指正。
廢話不多說，開啟正文！
一、圖形引入
下面是對數(shù)(等角)螺旋線的圖片，可以清晰看出它的性質(zhì)：圖中曲線的在一任意點(diǎn)P處的切線與圓心O到這一點(diǎn)的連線所成角度α不變，也就是α是一個定值。
二、數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)
若在極坐標(biāo)系中，對數(shù)(等角)螺旋線的極坐標(biāo)方程為:
,其中θ表示任意一點(diǎn)P的角度，因此該點(diǎn)極坐標(biāo)為
。由推導(dǎo)可知該點(diǎn)的切向量為
切向量推導(dǎo)過程如下：
點(diǎn)P的極坐標(biāo)為
,因此在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
再分別對x,y軸坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)，
，
因此可得該點(diǎn)的切向量為：
因?yàn)棣翞樵擖c(diǎn)的切向量與圓心連線的夾角，并且α是一個定值，這個角的大小永遠(yuǎn)不變，那么接下來就是要求出
這個定值，推導(dǎo)過程如下：
求解過程如下：
已知兩向量的夾角公式為：
，
所以
對上式化簡：
得到
的值后，繼續(xù)求得
的值：
求解過程如下：
已知
可求得
，因?yàn)?img src="https://imgs.yssmx.com/Uploads/2023/04/421992-24.png" alt="對數(shù)螺旋線（等角螺旋線）數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)" referrerpolicy="no-referrer" />
所以，
已知
可得，因?yàn)?img src="https://imgs.yssmx.com/Uploads/2023/04/421992-28.png" alt="對數(shù)螺旋線（等角螺旋線）數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)" referrerpolicy="no-referrer" />
所以，
繼續(xù)求得最終對數(shù)(等角)螺旋線的極坐標(biāo)方程：
極坐標(biāo)方程推導(dǎo)如下：
已知
對上述式子兩端積分可得，
，其中
為常數(shù)
化簡上式，得到
所以，對數(shù)(等角)螺旋線的極坐標(biāo)方程為：
，a為常數(shù)
三、性質(zhì)
以上便是對數(shù)(等角)螺旋線極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)，根據(jù)公式：，可以得到一些性質(zhì)。
對于每一個θ，都有一個r值相對應(yīng)；當(dāng)θ=0時，r=a，因此a可以影響螺旋線距離圓心的距離。其他的性質(zhì)就不說那么多了，百度上很多講性質(zhì)的。
總結(jié)：打公式不易，如有錯誤歡迎指正！麻煩點(diǎn)贊收藏給個鼓勵，謝謝~文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-421992.html
最后再補(bǔ)充一張MATLAB實(shí)現(xiàn)的圖吧！文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-421992.html
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