??排序 (Sorting) 是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中的一種重要操作，它的功能是將一個(gè) 數(shù)據(jù)元素 （或記錄）的任意序列，重新排列成一個(gè)關(guān)鍵字有序的序列。
一、常見(jiàn)排序算法
二、實(shí)現(xiàn)
1. 直接插入排序
介紹：將待排的數(shù)，和有序的數(shù)比較，直到一個(gè)合適的位置，然后進(jìn)行插入。
示圖：
將待排數(shù)4，與有序數(shù)對(duì)比，然后插入到（比4小的數(shù)）2前面
代碼：
// 插入排序（升序）
void InsertSort(int* a, int n)
{
for (int i = 0; i < n-1 ; ++i)
{
int end = i;
//[0,end]為有序數(shù)組
//記錄下需要插入的數(shù),將end+1的位置空出來(lái)
int temp = a[end + 1];
//將需插入的數(shù)和有序數(shù)組對(duì)比
while (end >= 0)
{
//如果大于，則向后移動(dòng)一位
if (a[end] > temp)
{
a[end + 1] = a[end];
end--;
}
else//否則，退出
{
break;
}
}
//下標(biāo)（end+1）就是合適的插入位置
a[end + 1] = temp;
}
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
如果原始數(shù)組為升序有序，則直接會(huì)break,時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N ) O(N) O(N)。
2.??希爾排序
介紹：利于直接插入排序的思想，如果所排的數(shù)據(jù)接近有序，則排序效率非常高。希爾排序，是將數(shù)據(jù)非為若干組，然后對(duì)每組的數(shù)據(jù)進(jìn)行插入排序，使之逐漸有序。
其中如果分組為1，則等于直接插入排序
圖示：
將數(shù)據(jù)分為9 5 8 1和3 2 7兩組，分別進(jìn)行插入排序，得到1 2 5 3 8 7 9，逐漸接近有序
代碼：
void Swap(int* p1, int* p2)
{
int temp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = temp;
}
// 希爾排序（升序）
void ShellSort(int* a, int n)
{
int group = n;
//逐漸將分組縮小，直至分組為1
while (group > 1)
{
//一般分組每次縮小1/3
//+1:為確保最后分組為1
group = group / 3 + 1;
//每個(gè)數(shù)依次在它所在組中插入排序
for (int i = 0; i < n - group; i++)
{
int end = i;//每組排序好的最后一個(gè)元素
int temp = a[end + group];//對(duì)應(yīng)組下一個(gè)要插入的元素
//思路同插入排序，只不過(guò)操作的是對(duì)應(yīng)組中的元素
while (end >= 0)
{
if (a[end] > temp)
{
a[end + group] = a[end];
end -= group;
}
else
{
break;
}
}
a[end + group] = temp;
}
}
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度大約為 O ( N 1.3 ) O(N^{1.3}) O(N1.3)
因?yàn)橄柵判虻臅r(shí)間復(fù)雜度非常難算，感興趣的可以去百度。
3. 選擇排序
介紹：每一次都遍歷一遍數(shù)據(jù)，選出最?。ù螅┑脑?，放在起始點(diǎn)。
圖示：
代碼：
// 選擇排序（升序）
void SelectSort(int* a, int n)
{
int begin = 0;
int end = n - 1;
//每遍歷一遍，選出最大和最小
while (begin < end)
{
int maxi = end;
int mini = begin;
for (int i = begin; i <= end; i++)
{
if (a[maxi] < a[i])
{
maxi = i;
}
if (a[mini] > a[i])
{
mini = i;
}
}
Swap(&a[begin], &a[mini]);
//如果最大的數(shù)下標(biāo)為begin，被上一步改變
if (maxi == begin)
{
maxi = mini;
}
Swap(&a[end], &a[maxi]);
begin++;
end--;
}
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
雖然一次遍歷找一個(gè)，優(yōu)化為每趟找兩個(gè)，只是每趟比較次數(shù)的等差數(shù)列的公差由1變?yōu)?，但是大 O O O的漸進(jìn)表示法都為 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
4.??堆排序
簡(jiǎn)介：該部分涉及堆的相關(guān)知識(shí)，
詳情請(qǐng)見(jiàn)另一篇：堆
效率：時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N l o g 2 N ) O(Nlog_2N) O(Nlog2?N)
5. 冒泡排序
簡(jiǎn)介：冒泡的思想就是遍歷數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，然后把最大(小)的數(shù)交換到最后位置。
圖示：
代碼：
// 冒泡排序（升序）
void BubbleSort(int* a, int n)
{
//最多要遍歷n-1次
for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
{
int flag = 0;
for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j)
{
//當(dāng)前的數(shù)與下一個(gè)數(shù)進(jìn)行比較
if (a[j] > a[j + 1])
{
Swap(&a[j], &a[j + 1]);
flag = 1;
}
}
//如果沒(méi)有進(jìn)行交互，則已經(jīng)排序完成了
if (flag == 0)
{
break;
}
}
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)
因?yàn)閮?yōu)化了退出條件，因此對(duì)于已排序的原始數(shù)據(jù)，時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N ) O(N) O(N)
7. ??快速排序
簡(jiǎn)介：開(kāi)始時(shí)，任取數(shù)據(jù)中的某一元素為基準(zhǔn)，然后將小于該元素的放在左邊，大于該元素的放在右邊，把剩余數(shù)據(jù)分為兩個(gè)序列。然后再對(duì)左右序列重復(fù)該過(guò)程，直到每個(gè)元素都在對(duì)應(yīng)位置
（hoare版本）圖示：
對(duì)數(shù)組4 3 6 7 2 1 5，以第一個(gè)4為關(guān)鍵數(shù)，升序排列，大于4的都放在右邊，小于4的放在左邊。得到結(jié)果2 3 1 4 6 7 5
先移動(dòng)右指針，走到小于4的數(shù)停下，再移動(dòng)左指針，找到大于4的數(shù)停下，交換兩數(shù)，然后繼續(xù)，直到左右指針相遇，因?yàn)樽笾羔樅笞?，因此停下的位置一定是小于等?的，再和4交換。
代碼：
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
//如果只有一個(gè)數(shù)，直接返回
if (left >= right)
{
return;
}
//記錄起始和結(jié)束
int begin = left;
int end = right;
//默認(rèn)key為第一個(gè)數(shù)
int keyi = left;
while (left < right)
{
//先移動(dòng)右指針，找到比key小的數(shù)
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
right--;
}
//再移動(dòng)左指針，找到比key大的數(shù)
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
left++;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
//right位置一定小于等于keyi位置數(shù)據(jù)
Swap(&a[right], &a[keyi]);
keyi = right;
//分別排左右序列
//[left,keyi-1], keyi, [keyi-1,right]
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度 O ( N l o g 2 N ) O(Nlog_2N) O(Nlog2?N)。每次走一趟，一共走 l o g 2 N log_2N log2?N次
7.1 其他版本的快排
挖坑法：
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right) return;
int begin = left, end = right;
//默認(rèn)key為第一個(gè)數(shù)
int key = a[left];
int piti = left;//坑的位置
while (left < right)
{
//右指針先走
while (left < right && a[right] >= key)
{
--right;
}
a[piti] = a[right];
piti = right;
//左指針走
while (left < right && a[left] <= key)
{
++left;
}
a[piti] = a[left];
piti = left;
}
//最后留下的坑位來(lái)存放key
a[piti] = key;
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
前后指針：
??用cur來(lái)找到小于key的元素，prev找到大于key的元素。剛開(kāi)始時(shí)，cur還未遇見(jiàn)大于等于key的元素時(shí)，cur和prev一起向右。(如果此步，不好理解的話，可以自己動(dòng)手畫畫)
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right) return;
int begin = left, end = right;
int keyi = left; //默認(rèn)key為第一個(gè)數(shù)
int prev = left;
int cur = left + 1;
while (cur <= right)
{
//當(dāng)cur小于key，且prev++后不等于cur，才會(huì)交換
if (a[cur] < a[keyi] && ++prev!=cur)
{
Swap(&a[cur], &a[prev]);
}
++cur;//cur一直向后走
}
Swap(&a[keyi], &a[prev]);
keyi = prev;
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
7.2 優(yōu)化
三數(shù)取中：
??因?yàn)閗ey的選取會(huì)影響快速排序的效率，其中，如果key每次都是是中間的數(shù)，接近二分，效率最高 O ( N l o g 2 N ) O(Nlog_2N) O(Nlog2?N)；如果每次都是最小（大）的數(shù)，則效率最低 O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)，因?yàn)榭倳?huì)出現(xiàn)[key]+[未排序數(shù)據(jù)]?
//找到前中后三個(gè)數(shù)中，中間的那個(gè)
int GetMid(int* a, int left, int right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if (a[mid] < a[left])
{
if (a[right] > a[left])
{
return left;
}
else if (a[right] < a[mid])
{
return mid;
}
else
{
return right;
}
}
else
{
if (a[right] < a[left])
{
return left;
}
else if (a[right] > a[mid])
{
return mid;
}
else
{
return right;
}
}
}
結(jié)合插入排序：
對(duì)于一組比較大的數(shù)據(jù)，在遞歸后期，小范圍的序列會(huì)有很多。因此可以在劃分的范圍足夠小后，直接使用插入排序，避免繼續(xù)向下遞歸。（tips：最后一次的遞歸次數(shù)占總遞歸次數(shù)的一半左右）
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right)
{
return;
}
int keyi = left;
int end = right;
//三數(shù)取中
int midi = GetMid(a, left, right);
Swap(&a[midi], &a[keyi]);
//使用插入排序
if (right - left < 13)
{
InsertSort(a + left, right - left + 1);
}
else
{
int begin = left, end = right;
while (left < right)
{
//先移動(dòng)右指針，找到比key小的數(shù)
while (left < right && a[right] >= a[keyi])
{
right--;
}
//再移動(dòng)左指針，找到比key大的數(shù)
while (left < right && a[left] <= a[keyi])
{
left++;
}
Swap(&a[left], &a[right]);
}
Swap(&a[right], &a[keyi]);
keyi = right;
QuickSort(a, begin, keyi - 1);
QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
}
7.3 ?非遞歸
遞歸的思想，比較容易寫，但是它占用棧區(qū)空間，如果數(shù)據(jù)足夠大，是可能發(fā)生棧溢出錯(cuò)誤的。
保持快速排序的思路不變，顯然循環(huán)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，但是我們可以用棧來(lái)模擬遞歸。
每次將要比較的序列的范圍[bigin,end]，記錄到棧中，每次循環(huán)開(kāi)始，出棧，結(jié)束后又將新劃分的左右序列入棧。
快速排序 非遞歸實(shí)現(xiàn)
void QuickSortNonR(int* a, int left, int right)
{
Stack st;
StackInit(&st);
StackPush(&st, left);
StackPush(&st, right);
while (!StackEmpty(&st))
{
//出棧，得到要排序的范圍[bigin,end]
int end = StackTop(&st);
StackPop(&st);
int begin = StackTop(&st);
StackPop(&st);
//排序，使key放到正確位置
int keyi = begin;
int prev = begin;
int cur = begin + 1;
while (cur <= end)
{
//當(dāng)cur小于key，且prev++后不等于cur，才會(huì)交換
if (a[cur] < a[keyi] && ++prev!=cur)
{
Swap(&a[cur], &a[prev]);
}
++cur;//cur一直向后走
}
Swap(&a[keyi], &a[prev]);
keyi = prev;
//將新的左右序列[bigin,keyi-1],[keyi+1,end]入棧
if (begin < keyi - 1)
{
StackPush(&st, begin);
StackPush(&st, keyi - 1);
}
if (keyi + 1 < end)
{
StackPush(&st, keyi + 1);
StackPush(&st, end);
}
}
StackDestroy(&st);
}
同樣的，其實(shí)可以用隊(duì)列來(lái)實(shí)現(xiàn)快速排序的非遞歸。
思路：將bigen end入隊(duì)列，循環(huán)開(kāi)始時(shí)，出隊(duì)列找到要排序的范圍[begin,end],排序完成后將左右序列[bigin,keyi-1],[keyi+1,end]入隊(duì)列
和棧實(shí)現(xiàn)不同的是：棧是以遞歸的方式，排完左序列后才會(huì)開(kāi)始排右，而隊(duì)列則是排左，排右交替進(jìn)行。
7. ??歸并排序
簡(jiǎn)介：采用分治實(shí)現(xiàn)，將數(shù)據(jù)劃分為兩等份分別有序的序列，然后合并。
圖示：
對(duì)數(shù)據(jù)1 0 5 3 2，進(jìn)行歸并排序，首先將數(shù)據(jù)分為兩份1 0 5和3 2,在向下劃分，直至最小的，然后在將兩兩歸并，逐漸形成有序序列。
代碼：
void _MergeSort(int* a, int n, int begin, int end, int* temp)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
int mid = (begin + end) / 2;
//由圖示，可見(jiàn)，后序，深度優(yōu)先
//[begin,mid] [mid+1,end]
_MergeSort(a, n, begin, mid, temp);
_MergeSort(a, n, mid+1, end, temp);
//將[begin,mid] [mid+1,end]兩個(gè)序列按順序合并
int begin1 = begin, end1 = mid;
int begin2 = mid + 1, end2 = end;
int i = begin;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
// "<"升序
if (a[begin1] < a[begin2])
{
temp[i++] = a[begin1++];
}
else
{
temp[i++] = a[begin2++];
}
}
//處理某個(gè)序列的剩余數(shù)據(jù)
while (begin1 <= end1)
{
temp[i++] = a[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
temp[i++] = a[begin2++];
}
//拷貝到原數(shù)組中,也可以使用庫(kù)函數(shù)
//memcpy(a + begin, tmp + begin, (end - begin + 1)*sizeof(int));
for (int j = begin; j <= end; ++j)
{
a[j] = temp[j];
}
}
// 歸并排序遞歸實(shí)現(xiàn)
void MergeSort(int* a, int n)
{
//因?yàn)橛袃蓚€(gè)序列歸并一起，因此需要額外的空間存放，temp為額外空間
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (temp == NULL)
{
perror("malloc failed\n");
exit(-1);
}
_MergeSort(a, n, 0, n - 1, temp);
free(temp);
}
效率:時(shí)間復(fù)雜度 O ( N l o g 2 N ) O(Nlog_2N) O(Nlog2?N)
嚴(yán)格的二分，會(huì)比快速排序更優(yōu)，但是需要額外的空間 O ( N ) O(N) O(N)
7.1 ?非遞歸
遞歸，同樣面臨棧溢出的風(fēng)險(xiǎn)。
由歸并排序的思想，先將數(shù)據(jù)劃分為1個(gè)數(shù)一組的序列，然后將相鄰的兩個(gè)組合并，然后再分為2個(gè)數(shù)一組的序列，再進(jìn)行合并，直到最后劃分整個(gè)序列為一組。
??tips：由于是按照1，2，4，8…逐漸劃分的，但是原始數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度可能并不是嚴(yán)格的 2 n 2^n 2n個(gè)，所有劃分出的組可能會(huì)出現(xiàn)越界問(wèn)題，需要處理。
代碼：
// 歸并排序非遞歸實(shí)現(xiàn)
void MergeSortNonR(int* a, int n)
{
//需要的額外空間
int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
int grap = 1;//開(kāi)始時(shí)一組有1個(gè)數(shù)
while (grap < n)
{
//[j,j+grap-1] 與 [j+grap,j+2*grap-1] 按序合并
for (int j = 0; j < n; j += grap*2)
{
int begin1 = j, end1 = j+grap-1;
int begin2 = j + grap, end2 = j + 2 * gap - 1;
//修正
//end1數(shù)組越界
if (end1 >= n)
{
end1 = n - 1;
begin2 = n;
end2 = n - 1;
}
//begin2數(shù)組越界
else if (begin2 >= n)
{
begin2 = n;
end2 = n - 1;
}
//end2數(shù)組越界
else if (end2 >= n)
{
end2 = n - 1;
}
int i = begin1;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
// "<"升序
if (a[begin1] < a[begin2])
{
temp[i++] = a[begin1++];
}
else
{
temp[i++] = a[begin2++];
}
}
while (begin1 <= end1)
{
temp[i++] = a[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
temp[i++] = a[begin2++];
}
}
//拷貝到原數(shù)組中
memcpy(a, temp, sizeof(int)*n);
//每次每組擴(kuò)大2倍
grap *= 2;
}
free(temp);
}
8. 計(jì)數(shù)排序
簡(jiǎn)介：因?yàn)閿?shù)組下標(biāo)為整數(shù)，因此對(duì)于整型數(shù)據(jù)，我們可以遍歷一般然后計(jì)數(shù)，最后再遍歷一般寫入。
圖示：
利用數(shù)組下標(biāo)，來(lái)在該空間位置存放個(gè)數(shù)，然后在遍歷數(shù)組，使之有序。但是適用范圍有限。
代碼：
// 計(jì)數(shù)排序
void CountSort(int* a, int n)
{
//找到數(shù)據(jù)中的max與min的數(shù)
int max = a[0], min = a[0];
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
if (a[i] > max)
max = a[i];
if (a[i] < min)
min = a[i];
}
//這所需開(kāi)辟數(shù)組大小為
//所開(kāi)辟數(shù)組[0,range-1]
//與原數(shù)據(jù)中[mini,maxi]，構(gòu)成映射
int range = max - min + 1;
int* count = (int*)calloc(range, sizeof(int));
//計(jì)數(shù)
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
count[a[i]-min]++;
}
//進(jìn)行排序
int j = 0;
for (int i = 0; i < range; ++i)
{
while (count[i]--)
{
//從映射中還原
a[j++] = i + min;
}
}
free(count);
}
效率：時(shí)間復(fù)雜度為 O ( N ) O(N) O(N)
三、總結(jié)
穩(wěn)定性：對(duì)于原數(shù)據(jù)中，相同值、不同先后順序的元素，進(jìn)行排序后，如果其先后順序任未改變，則稱該排序算法是穩(wěn)定的。
通常穩(wěn)定主要用于對(duì)一組原始數(shù)據(jù)（每個(gè)元素有多個(gè)屬性值），按照不同規(guī)律進(jìn)行排序時(shí)才非常重要。
1. 分析
下面??同種算法，時(shí)間復(fù)雜度最好或最壞的情況，其代碼可能不同（有無(wú)優(yōu)化）
| 排序算法 | 平均時(shí)間復(fù)雜度 | 最好 | 最壞 | 空間復(fù)雜度 | 穩(wěn)定性 |
|---|---|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( n ) O(n) O(n) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( 1 ) O(1) O(1) | 穩(wěn)定 |
| 希爾排序 | O ( n 1.3 ) O(n^{1.3}) O(n1.3) | O ( n 1.3 ) O(n^{1.3}) O(n1.3) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( 1 ) O(1) O(1) | 不穩(wěn)定 |
| 選擇排序 | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( 1 ) O(1) O(1) | 不穩(wěn)定 |
| 堆排序 | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( 1 ) O(1) O(1) | 不穩(wěn)定 |
| 冒泡排序 | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( n ) O(n) O(n) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( 1 ) O(1) O(1) | 穩(wěn)定 |
| 快速排序 | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) | O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2?n)~ O ( n ) O(n) O(n) | 不穩(wěn)定 |
| 歸并排序 | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n l o g 2 n ) O(nlog_2n) O(nlog2?n) | O ( n l o g n ) O(nlog_n) O(nlogn?) | O ( n ) O(n) O(n) | 穩(wěn)定 |
| 計(jì)數(shù)排序 | O ( n ) O(n) O(n) | O ( n ) O(n) O(n) | O ( n ) O(n) O(n) | O ( m a x ( n , r a n g e ) ) O(max(n,range)) O(max(n,range)) | 無(wú) |
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